goniometria e geometria analitica

Equazione del fascio

$ Γ: y = x^2cos^2α + sin^2α+1 = x^2cos^2α +2 - cos^2α $

a. Punti base.

Scegliamo due parabole del fascio e determiniamo i punti di intersezione che saranno i punti base del fascio.

Scegliamo due angoli interni all'intervallo (0, π/2)

1. $α = \frac{\pi}{6} \; ⇒ \; cos^2α = \frac{3}{4} $
2. $α = \frac{\pi}{3} \; ⇒ \; cos^2α = \frac{1}{4} $ 

a cui corrispondono le parabole

1. $ y = \frac{3}{4} x^2 + \frac{5}{4} $
2. $ y = \frac{1}{4} x^2 + \frac{7}{4} $ 

Per trovare i punti base sarà sufficiente risolvere il sistema composto dalle due parabole

$ \left\{\begin{aligned} y &= \frac{3}{4} x^2 + \frac{5}{4} \\ y &= \frac{1}{4} x^2 + \frac{7}{4} \end{aligned} \right. $

Le cui due soluzioni sono le coordinate dei punti A(-1, 2) e B(1, 2)

b.

Vista la simmetria rispetto all'asse delle y (vedi grafico) determiniamo le coordinate di P considerando una sola tangente, scegliamo quella che passa per A.

https://www.desmos.com/calculator/1bpglxbwvu

• Coordinate di P

Risolviamo il sistema composto dalla generica retta passante per A, e determiniamo quella tangente alla generica parabola del fascio. Risolviamo il sistema retta per A e parabola del fascio

$ \left\{\begin{aligned} y &= m(x+1)+2 \\ y &= x^2cos^2α + 2 - cos^2α \end{aligned} \right. $

Per confronto si ottiene

$ x^2cos^2α -mx-m-cos^2α = 0$

Imponiamo la tangenza imponendo il discriminante eguale a zero.

$ Δ = 0 $

$ m^2+4mcos^2α+4cos^4α = 0 $

che ammette come soluzione

$ m = -2cos^2α $

La retta tangente ha equazione $y = -2cos^2α x + 2 - 2 cos^2α$

Verificato il risultato con il grafico desmos

c. Area S

Le coordinate di P sono x = 0 (simmetria) e y = intercetta retta tangente

P(0, 2 - 2 cos^2α)

L'area del triangolo APB è due volte l'area del triangolo rettangolo APC dove C(0,2) quindi

Area = S = 2(1*(C-P)) / 2 = (C-P) = 2 - (2-2cos²α) = 2cos²α 

Ti ho scritto la risposta 2 volte le trovi a questi links

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/aiuto-532/#text=https%3A//www.sosmatematica.it/forum/domande/aiuto%2D532/%23post%2D267949

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/per-piacere-mi-aiutate-3/#post-267941

a) scelgo due valori ammissibili per l'angolo

e cerco l'intersezione delle parabole che vengono

a = pi/4

y = x^2/2 + 3/2

a = pi/6

y = 3/4 x^2 + 5/4

sottraendo

1/4 x^2 - 1/4 = 0

xA = -1

xB = 1

y = 3/4 + 5/4 = 2

A = (-1,2)

B = (1,2)

Anche se non usi le derivate puoi ricorrere a mt = 2a xo + b

che viene dal Delta della risolvente

https://www.sosmatematica.it/contenuti/coefficiente-angolare-della-tangente-alla-parabola-in-un-suo-punto/

Per adesso lascio a te i calcoli e magari lo svolgo domani.

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