[Risolto] Numeri complessi

Nel piano di Argand-Gauss sono coincidenti nell'origine, che è una radice quadrupla.
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Con
* x, y, ρ, θ reali
* ρ > 0
* 0 <= θ < 2*π
si ha
* z = x + i*y = ρ*e^(i*θ) = ρ*(cos(θ) + i*sen(θ))
* z' = x - i*y
* |z| = ρ = |x + i*y| = √(z*z') = √(x^2 + y^2)
e si riscrive e sviluppa l'equazione data
* Re[z] + z^2 = |z|^2 ≡
≡ z^2 = |z|^2 - Re[z] ≡
≡ (x + i*y)^2 = x^2 + y^2 - x ≡
≡ x^2 - y^2 + i*2*x*y = x^2 + y^2 - x ≡
≡ - y^2 + i*2*x*y = y^2 - x ≡
≡ (- y^2 = y^2 - x) & (i*2*x*y = 0) ≡
≡ (x = 2*y^2) & (x*y = 0)
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Le soluzioni dell'equazione originale sono, sul piano di Argand-Gauss, le quattro intersezioni fra due coniche:
a) la parabola x = 2*y^2, con vertice in O(0, 0), apertura a = 2 > 0, concavità verso x > 0;
b) l'iperbole degenere rappresentata dagli assi coordinati.
Si vede a colpo d'occhio (per ispezione) che c'è l'unico punto O(0, 0) che soddisfaccia ad entrambe le equazioni.