Equazione nel campo complesso

Si può, ma il ragionamento é articolato ed inusuale.

Se z = A e^(i@),  z* = A e*(-i@)  e z z* = |z|^2 = A^2

si ottiene A^2 + 2 A cos @ = 0

A(A + 2 cos @) = 0 => A = 0 V A = - 2 cos @

Osserviamo che dovendo essere A >= 0

risulterà - 2 cos @ >= 0 =>  cos @ <= 0

e @ varia fra pi/2 e 3/2 pi ( secondo e terzo quadrante )

Ora se A = 0 allora z = 0

Se A = - 2 cos @ allora

z = - 2 cos @ ( cos @ + i sin @) =

= - 2 cos^2(@) - 2 i sin @ cos @ =

= - 2* (1 + cos 2@)/2 - i sin 2@ =

= - 1 - cos u - i sin u 

con u = 2@ variabile fra pi e 3 pi ( percorre tutto il giro, quindi da 0 a 2pi )

 

Si può mostrare in modo veloce che il luogo descritto é lo stesso

infatti se x = - 1 - cos u e y = - sin u

allora cos u = -1 - x e sin u = -y

Quadrando e sommando

(-x -1)^2 + (-y)^2 = 1

sviluppando e riducendo infine

 

x^2 + y^2 + 2x = 0