[Risolto] Esercizio 452 pagina 1032 - numeri complessi

Con
* z, z' complessi
* x, y, ρ, θ reali
* ρ > 0
* 0 <= θ < 2*π
si scrive
* z = x + i*y = ρ * e^(i*θ) = ρ * (cos(θ) + i*sen(θ))
* z' = x - i*y
* |z| = ρ = |x + i*y| = √(z*z') = √(x^2 + y^2)
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L'espressione 452 si semplifica anzitutto applicando le proprietà delle potenze
452) (2*e^(i*(- π/4)))*(3*e^(i*3*π/4)) : (4*e^(i*7*π/4)) =
= (2*3/4)*e^(i*(- π/4 + 3*π/4 - 7*π/4)) =
= (3/2)*e^(i*(- 5*π/4))
poi passando dalla forma polare esponenziale alla forma polare trigonometrica
* (3/2)*e^(i*(- 5*π/4)) = (3/2)*(cos(- 5*π/4) + i*sen(- 5*π/4))
e da questa, consultando le Tavole Goniometriche, alla forma cartesiana richiesta
* (3/2)*(cos(- 5*π/4) + i*sen(- 5*π/4)) =
= (3/2)*(- 1/√2 + i*1/√2) =
= (3*√2/4)*(- 1 + i) ~=
~= (1.06)*(- 1 + i) ~=
~= - 1 + i

Quindi:

2·e^(- i·pi/4)·3·e^(i·3/4·pi)/(4·e^(i·7/4·pi))

Devi quindi utilizzare la formula di Eulero per i termini:

e^(- i·pi/4)=√2/2 - √2·i/2

e^(i·3/4·pi) = - √2/2 + √2·i/2

e^(i·7/4·pi) = √2/2 - √2·i/2

fai le sostituzioni ed ottieni il risultato sotto forma di numero complesso.

2·(√2/2 - √2·i/2)·3·(- √2/2 + √2·i/2)/(4·(√2/2 - √2·i/2))

6·i/(2·√2 - 2·√2·i)

6·i·(2·√2 + 2·√2·i)/((2·√2 - 2·√2·i)·(2·√2 + 2·√2·i))

(- 12·√2 + 12·√2·i)/16

- 3·√2/4 + 3·√2·i/4

3·√2·(-1 + i)/4