cos2alpha+sin8alpha
cos2alpha+sin8alpha
Breve ripasso sulle formule di prostaferesi. Utilizziamo la 1^ formula di prostaferesi. Vediamo come si ottiene.
{SIN(α + β) = SIN(α)·COS(β) + SIN(β)·COS(α)
{SIN(α - β) = SIN(α)·COS(β) - SIN(β)·COS(α)
sommiamo le due identità:
SIN(α + β) + SIN(α - β) = 2·SIN(α)·COS(β)
poniamo quindi :
{α + β = p
{α - β = q
risolviamo:
[α = (p + q)/2 ∧ β = (p - q)/2]
Quindi:
SIN(p) + SIN(q) = 2·SIN((p + q)/2)·COS((p - q)/2)
Poi procediamo nel seguente modo:
COS(2·α) + SIN(8·α)--------->COS(λ) + SIN(4·λ)
avendo posto: λ = 2·α. Trasformiamo il primo termine in seno:
SIN(pi/2 - λ) + SIN(4·λ)
poniamo 4·λ = p e pi/2 - λ = q
adoperiamo quindi la prima formula di prostaferesi:
SIN(4·λ) + SIN(pi/2 - λ) =
= 2·SIN((4·λ + (pi/2 - λ))/2)·COS((4·λ - (pi/2 - λ))/2)
quindi
SIN(4·λ) + SIN(pi/2 - λ) = 2·SIN((6·λ + pi)/4)·COS((10·λ - pi)/4)
quindi
SIN(4·(2·α)) + SIN(pi/2 - 2·α) = 2·SIN((6·(2·α) + pi)/4)·COS((10·(2·α) - pi)/4)
quindi
SIN(8·α) + COS(2·α) = 2·SIN(3·α + pi/4)·SIN(5·α + pi/4)
Ciao!
Per risolvere $\cos (2\alpha )+\sin (8\alpha )$ supponiamo $t=2\alpha $
quindi diventa:
$$\cos (t )+\sin (4t )$$
Possiamo convertire il coseno in seno per gli archi associati, essendo
$$\cos (t )=\sin \left(\frac{\Pi }{2} -t\right)$$
sostituendo si ha:
$$\sin \left(\frac{\Pi }{2} -t\right)+\sin (4t )$$
attraverso le formule di prostaferesi abbiamo:
$$2\sin \left(\frac{\frac{\Pi }{2}-t+4t }{2} \right) \cdot \cos \left(\frac{\frac{\Pi }{2}-t-4t }{2} \right)$$
ritornando alla sostituzione iniziale $t=2\alpha $ :
$$2\sin \left(\frac{\frac{\Pi }{2}-2\alpha +8\alpha }{2} \right) \cdot \cos \left(\frac{\frac{\Pi }{2}-2\alpha -8\alpha }{2} \right) $$
facendo i rispettivi calcoli algebrici, si ottiene
$$2\sin \left(\frac{\Pi }{4}+3\alpha \right) \cdot \cos \left(\frac{\Pi }{4}-5\alpha \right) $$ .