Le formule di prostaferesi permettono di trasformare la somma o la differenza di due funzioni goniometriche in un prodotto di funzioni goniometriche.
Esse possono essere utili nel risolvere alcune equazioni e disequazioni goniometriche. Infatti, se un’equazione consiste in una somma di funzioni goniometriche posta uguale a zero, trasformando tale somma in un prodotto sarà poi possibile risolvere l’equazione utilizzando la legge di annullamento del prodotto.
Formula di prostaferesi per la somma di seni
$$
\sin (p)+\sin (q)=2 \sin \left(\frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)
$$
Formula di prostaferesi per la differenza di seni
$$
\text { (2) } \sin (p)-\sin (q)=2 \cos \left(\frac{p+q}{2}\right) \sin \left(\frac{p-q}{2}\right)
$$
Formula di prostaferesi per la somma di coseni
$$
\text { (3) } \cos (p)+\cos (q)=2 \cos \left(\frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)
$$
Formula di prostaferesi per la differenza di coseni
$$
\text { (4) } \cos (p)-\cos (q)=-2 \sin \left(\frac{p+q}{2}\right) \sin \left(\frac{p-q}{2}\right)
$$
ESEMPIO 1
Calcolare il valore della seguente differenza con le formule di prostaferesi.
$$
\operatorname{sen} \frac{5}{12} \pi-\operatorname{sen} \frac{7}{12} \pi
$$
Usiamo la seconda delle formule di prostaferesi:
$$
\operatorname{sen} \frac{5}{12} \pi-\operatorname{sen} \frac{7}{12} \pi=2 \cos \left(\frac{\frac{5}{12} \pi+\frac{7}{12} \pi}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{\frac{5}{12} \pi-\frac{7}{12} \pi}{2}\right)= $$
$$=2 \cos \frac{\pi}{2} \operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{12}\right)=0$$