Sia l'iperbole data che l'ellisse richiesta dal quesito a sono coniche a centro riferite ai propri assi e quindi di equazione con la forma normale standard di semiassi (a, b) positivi
* Γ ≡ (x/a)^2 ± (y/b)^2 = ± 1
che per l'ellisse ha '+' in entrambi i doppi segni e per l'iperbole ha '-' nel doppio segno a primo membro mentre al secondo membro ha '+' se fuochi e vertici sono sull'asse x oppure ha '-' se sono sull'asse y.
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Quindi l'iperbole data
* Γh ≡ (x/2)^2 - (y/1)^2 = - 1
ha vertici (0, ± b) = (0, ± 1) [V(0, 1)] e asintoti y = ± (b/a)*x ≡ y = ± x/2.
I fasci di rette parallele agli asintoti sono
* p(q) ≡ y = q ± x/2
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L'ellisse
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
dovendo avere un vertice in V(0, 1) ha b = 1; dovendo avere fuochi F(± √11, 0) ha a > b e quindi semidistanza focale
* c = √(a^2 - b^2) = √(a^2 - 1^2) = √11 ≡ a = 2*√3
da cui
* Γe ≡ (x/(2*√3))^2 + (y/1)^2 = 1 ≡ x^2 + 12*y^2 - 12 = 0
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I sistemi
* p(q) & Γe ≡ (y = q ± x/2) & (x^2 + 12*y^2 - 12 = 0)
hanno risolventi
* x^2 + 12*(q ± x/2)^2 - 12 = 0
con lo stesso discriminante
* Δ(q) = - 48*(q + 2)*(q - 2)
che s'annulla per q = ± 2 determinando le quattro tangenti
* p(± 2) ≡ y = ± 2 ± x/2 ≡ (x^2 - 4 y^2)^2 = 32*(x^2 + 4*(y^2 - 2))
e i punti di tangenza
* p(± 2) & Γe ≡ ((x^2 - 4*y^2)^2 = 32*(x^2 + 4*(y^2 - 2))) & (x^2 + 12*y^2 - 12 = 0) ≡ T(± 3, ± 1/2)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28%28x%5E2-4*y%5E2%29%5E2%3D32*%28x%5E2--4*%28y%5E2-2%29%29%29%26%28x%5E2--12*y%5E2-12%3D0%29
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Stante la simmetria quadrantale della situazione si ha che la richiesta area S del rombo, semiprodotto delle diagonali, è il doppio del prodotto fra i moduli delle intercette rilevabili dalla forma normale segmentaria di una qualsiasi delle quattro tangenti
* t ≡ y = 2 + x/2 ≡ y + x/(- 2) = 2 ≡ y/2 + x/(- 4) = 1
da cui
* S = 2*|2|*|- 4| = 16
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Ogni parabola con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha equazione
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
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Le condizioni di passaggio impongono ai parametri i vincoli d'appartenenza
* per V(0, 1): 1 = h + a*(0 - w)^2
* per T(- 3, 1/2): 1/2 = h + a*(- 3 - w)^2
il cui sistema
* (1 = h + a*(0 - w)^2) & (1/2 = h + a*(- 3 - w)^2) ≡
≡ (w = - (18*a + 1)/(12*a)) & (h = - (324*a^2 - 108*a + 1)/(144*a))
riduce ad avere un solo parametro l'equazione
* Γ ≡ y = a*x^2 + (3*a + 1/6)*x + 1
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Applicare la condizione di tangenza determina l'apertura. Il sistema
* t & Γ ≡ (y = 2 + x/2) & (y = a*x^2 + (3*a + 1/6)*x + 1)
ha risolvente
* a*x^2 + (3*a + 1/6)*x + 1 - (2 + x/2) = 0
con discriminante
* Δ(a) = 9*(a + 1/9)^2
che, per la tangenza, s'annulla per a = - 1/9; da cui
* w = - 3/4
* h = 17/16
* Γp ≡ y = 17/16 - (x + 3/4)^2/9 ≡ y = - (2*x^2 + 3*x - 18)/18
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28%28y-x%2F2-2%29*%28y-1%29%3D0%29%26%28y-1%3D%28-2*x%5E2-3*x%29%2F18%29
