Salve, dovrei trovare la distanza minima tra due punti nel piano e nello spazio tramite i principi variazionali. Nel piano trovo che la distanza minima è una retta, ma potete darmi un aiuto per la grodetica dello spazio? Dovrei scrivermi tre equazioni di Eulero- Lagrange differenti?
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Livello 1
Deve uscire una retta ugualmente, ma il funzionale distanza dipende da più variabili
S_[a,b] rad(1 + y'^2 + z'^2) dx
e si devono scrivere le equazioni di E - L su y e su z
Se svolgi il calcolo infatti ti viene
d/dx 2y'/2sqrt(1 + y'^2 + z'^2) - 0 = 0 => y'' = 0 => y = Ax + B
d/dx 2z'/2sqrt(1 + y'^2 + z'^2) - 0 = 0 => z'' = 0 => z = Cx + D
e abbiamo le equazioni parametriche di una retta
* Nota - ho omesso dei passaggi ma dovrebbero essere semplici
infatti
y'/sqrt(1 + y'^2 + z'^2) = K1
z'/sqrt(1 + y'^2 + z'^2) = K2
significa
z'/y' = K2/K1 => z' = K y'
e tornando nella prima
y'/sqrt (1 + K^2 y'^2 + y'^2 ) = K1
y'^2/(1 + (K^2 + 1)y'^2) = K1^2
da cui riarrangiando i termini y'^2 = cost => y' = cost e z' = cost
per questo y e z sono due polinomi di primo grado
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Livello 6
