Matematica piano cartesiano

Quali?

Scrivi l'equazione del fascio proprio di rette di centro P(-2,3)

y - 3 = m·(x + 2)----> y = m·x + 2·m + 3

a cui devi aggiungere la retta verticale x = -2

A) Fasci di rette
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A1) Individuare dall'equazione, secondo il tipo di fascio, il centro o la direzione.
Data l'equazione del fascio
* r(k) ≡ x*a(k) + y*b(k) + c(k) = 0
si fa sistema delle due rette più semplici da calcolare
* r(0) & r(1) ≡ (x*a(0) + y*b(0) + c(0) = 0) & (x*a(1) + y*b(1) + c(1) = 0)
e se esse s'intersecano in C(u, v) allora C è il centro e il fascio è proprio; se invece il sistema è impossibile allora il fascio è improprio e si può riscrivere o come
* r(q) ≡ x = q
oppure come
* r(k) ≡ y = m*x + q(k)
dove la pendenza m = - a(k)/b(k) risulta costante mentre l'intercetta q(k) = - c(k)/b(k) è parametrica.
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A2) Dato il vettore (a, b), con a e b non entrambi nulli, scrivere il fascio improprio con la sua stessa direzione.
A2a) (0, b): r(q) ≡ x = q
A2b) (a, 0): r(q) ≡ y = q
A2c) a*b != 0: r(q) ≡ y = (b/a)*x + q
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A3) Dato il punto C(u, v) scrivere il fascio proprio di centro C.
* r(a, b) ≡ a*x + b*y - (a*u + b*v) = 0 ≡
≡ (x = u) oppure (r(k) ≡ y = v + k*(x - u))
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B) Metodo generale per il calcolo dell'area S del triangolo ABC di vertici
* A(a, p), B(b, q), C(c, r)
B1) Scegliere secondo convenienza uno dei vertici, p.es. C, ed eseguire le sottrazioni di coppie
* CA ≡ A - C = (a, p) - (c, r) = (a - c, p - r)
* CB ≡ B - C = (b, q) - (c, r) = (b - c, q - r)
B2) Eseguire l'operazione
* CA × CB = (a - c, p - r) × (b - c, q - r) = a*(q - r) + b*(r - p) + c*(p - q)
B3) Dimezzare il valore assoluto del risultato dà il valore dell'area
* S(ABC) = |CA × CB|/2 = |a*(q - r) + b*(r - p) + c*(p - q)|/2
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C) Allineamento dei tre punti A(a, p), B(b, q), C(c, r).
Se a*(q - r) + b*(r - p) + c*(p - q) = 0 allora ABC sono allineati.