Matematica piano cartesiano

Un esercizio per volta, vedi regolamento!

385) Nel punto P passano infinite rette

equazione della retta generica;

y = m x + q; 

m è il coefficiente angolare della retta; q è il termine noto, ordinata dell'asse y, quando x = 0.

Deve passare in P(- 2; 3):

3 = m * (-2) + q;

- 2m + q = 3; 

q = 2m + 3;

y = m x + 2m + 3;

y = m (x + 2) + 3;  fascio di retta passante per P (-2; +3).

Dando valori ad m, otteniamo tutte le infinite rette passanti per P.

Esempio:

m = 1:

y = x + 5; passa per P (-2;3)

y = - 2 + 5 = + 3.

Ciao @andrewz

Mi sembra che sia una riga da scrivere per ogni esercizio. Vedere per bene:

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

quindi un solo esercizio per volta evidenziando le proprie difficoltà nella risoluzione relativa ad esso.

A) Fasci di rette
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A1) Individuare dall'equazione, secondo il tipo di fascio, il centro o la direzione.
Data l'equazione del fascio
* r(k) ≡ x*a(k) + y*b(k) + c(k) = 0
si fa sistema delle due rette più semplici da calcolare
* r(0) & r(1) ≡ (x*a(0) + y*b(0) + c(0) = 0) & (x*a(1) + y*b(1) + c(1) = 0)
e se esse s'intersecano in C(u, v) allora C è il centro e il fascio è proprio; se invece il sistema è impossibile allora il fascio è improprio e si può riscrivere o come
* r(q) ≡ x = q
oppure come
* r(k) ≡ y = m*x + q(k)
dove la pendenza m = - a(k)/b(k) risulta costante mentre l'intercetta q(k) = - c(k)/b(k) è parametrica.
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A2) Dato il vettore (a, b), con a e b non entrambi nulli, scrivere il fascio improprio con la sua stessa direzione.
A2a) (0, b): r(q) ≡ x = q
A2b) (a, 0): r(q) ≡ y = q
A2c) a*b != 0: r(q) ≡ y = (b/a)*x + q
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A3) Dato il punto C(u, v) scrivere il fascio proprio di centro C.
* r(a, b) ≡ a*x + b*y - (a*u + b*v) = 0 ≡
≡ (x = u) oppure (r(k) ≡ y = v + k*(x - u))
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B) Metodo generale per il calcolo dell'area S del triangolo ABC di vertici
* A(a, p), B(b, q), C(c, r)
B1) Scegliere secondo convenienza uno dei vertici, p.es. C, ed eseguire le sottrazioni di coppie
* CA ≡ A - C = (a, p) - (c, r) = (a - c, p - r)
* CB ≡ B - C = (b, q) - (c, r) = (b - c, q - r)
B2) Eseguire l'operazione
* CA × CB = (a - c, p - r) × (b - c, q - r) = a*(q - r) + b*(r - p) + c*(p - q)
B3) Dimezzare il valore assoluto del risultato dà il valore dell'area
* S(ABC) = |CA × CB|/2 = |a*(q - r) + b*(r - p) + c*(p - q)|/2
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C) Allineamento dei tre punti A(a, p), B(b, q), C(c, r).
Se a*(q - r) + b*(r - p) + c*(p - q) = 0 allora ABC sono allineati.