[Risolto] Matematica

E' lungo ed è monotono!!!!

Le coordinate dei punto A,B,C sono: [0, 4] ; [-4, 2] ; [3, -2]

Misure dei lati AB,BC, AC e loro equazioni, perimetro ed area

ΑΒ = √((0 + 4)^2 + (4 - 2)^2) -----> ΑΒ = 2·√5

BC = √((3 + 4)^2 + (-2 - 2)^2)----->BC= √65

ΑC= √((0 - 3)^2 + (4 + 2)^2)------> AC = 3·√5

quindi :

perimetro=2·√5 + √65 + 3·√5 = √65 + 5·√5

equazione retta AB: y=1/2x +4------> x-2y+8=0

equazione retta BC: 

(y - 2)/(x + 4) = (-2 - 2)/(3 + 4)-----> y = - 4·x/7 - 2/7

quindi: 4x+7y+2=0

equazione retta AC:

y=-2x+4------> 2x+y-4=0

I lati AB ed AC sono quindi perpendicolari fra loro quindi:

Area=1/2·2·√5·3·√5 = 15

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Perimetro quadrato equivalente al triangolo e rapporto tra perimetri

perimetro quadrato=4·√15

rapporto tra perimetri=4·√15/(√65 + 5·√5) =

=4·√15·(√65 - 5·√5)/((√65 + 5·√5)·(√65 - 5·√5))=

=(20·√39 - 100·√3)/(-60)=1/3·(5·√3 - √39)

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Coordinate del punto H

Metto a sistema:

{ y = - 4·x/7 - 2/7 (retta BC)

{y = 7/4·x + 4  (retta AH)

Risolvo ed ottengo:   [x = - 24/13 ∧ y = 10/13]

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Ultimi due punti...

(a - 2)·x + (a - 6)·y - a = 0

Questo fascio deve passare da A: [0, 4]

Quindi:

(a - 2)·0 + (a - 6)·4 - a = 0----> 3·a - 24 = 0

quindi: a = 8

(8 - 2)·x + (8 - 6)·y - 8 = 0----> 6·x + 2·y - 8 = 0

Quindi: y = 4 - 3·x

La retta del fascio: (a - 2)·x + (a - 6)·y - a = 0

deve essere parallela a: 4·x + 7·y + 2 = 0

Ciò si realizza se e solo se:

(a - 2)/4 = (a - 6)/7

risolvo ed ottengo: a = - 10/3

(- 10/3 - 2)·x + (- 10/3 - 6)·y - (- 10/3)= 0

- 16·x/3 - 28·y/3 + 10/3 = 0-----> y = 5/14 - 4·x/7

 

 

 

 

I punti {a, b, c}, oltre che lunghi e monotoni come sono sembrati @LucianoP, a me sembrano anche domande stupide (la c di meno, ma di poco).
Invece a me pare che il punto d un po' d'attenzione la meriti, se non altro per biasimare l'autore che dice "LA RETTA" a un'equazione con tutt'e tre i coefficienti parametrici!
Si dice "IL FASCIO", ignorante morto di sonno.
Mah, vabbe'...
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d) Determinare, se esistono, i valori del parametro "a" per cui la retta del fascio
* r(a) ≡ (a - 2)*x + (a - 6)*y - a = 0
d1) passa per A(0, 4) ("... al fascio proprio ...")
d2) ha pendenza eguale alla congiungente B(- 4, 2) con C(3, - 2) ("... al fascio improprio ...")
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d1) Si scrive il vincolo d'appartenenza e lo si risolve in "a"
* per A(0, 4): (a - 2)*0 + (a - 6)*4 - a = 0 ≡ a = 8
* r(8) ≡ (8 - 2)*x + (8 - 6)*y - 8 = 0 ≡
≡ y = 4 - 3*x
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d2) BC ≡ y = - 2*(2*x + 1)/7, di pendenza m = 4/7
La pendenza di
* r(a) ≡ (a - 2)*x + (a - 6)*y - a = 0 ≡
≡ (y = ((2 - a)*x + a)/(a - 6)) & (a != 6)
vale
* m(a) = (2 - a)/(a - 6)
da cui
* m(a) = (2 - a)/(a - 6) = 4/7 ≡ a = 38/11
* r(38/11) ≡ (38/11 - 2)*x + (38/11 - 6)*y - 38/11 = 0 ≡
≡ y = (8*x - 19)/14