LIMITI

y = 2/ABS(1 - x)

Funzione non definita per x = 1. Quindi C.E. x ≠ 1

E' equivalente a scrivere una funzione definita a tratti:

y=

{2/(1 - x) per x ≤ 1

{2/(x - 1)  per x > 1

La presenza del modulo indica che la funzione nel suo C.E. risulta essere sempre positiva

Presenta un asintoto verticale in x=1 ed un asintoto orizzontale y=0.

E' data dall'unione dei due archi positivi delle funzioni omografiche che rappresentano le due funzioni omografiche definite nei relativi tratti di competenza

Dominio

Il denominatore dev’essere diverso da zero per cui |1 - x | ≠ 0 da cui x ≠ 1

Intersezioni con gli assi

Ponendo x = 0 si trova l’intersezione con l’asse y che risulta essere y = 2 ovvero il punto 

(0; 2)

Ponendo invece la funzione uguale a 0 è evidente che questa non si annulla mai ovvero non ci sono intersezioni con l’asse x.

Segno

La funzione avendo numeratore (2) positivo e denominatore col modulo risulta sempre positiva nel dominio.

Grafico

Verifica del primo limite

Da $ \frac 2 {|1 - x|} < ε $ si ottiene $ |1-x| > \frac 2 ε $ ovvero 

$ 1 - x > \frac 2 ε $ da cui $ x < 1 - \frac 2 ε $ che è un intorno di - ∞

oppure

$ 1 - x < - \frac 2 ε  $ da cui $ x > 1 + \frac 2 ε  $ che è un intorno di + ∞

Verifica del secondo limite

Da $ \frac 2 {|1-x|} > M $ si ottiene $ |1-x| < \frac 2 M $ che rappresenta proprio un intorno di 1

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