LIMITI

a.

$ f(x) = \sqrt{x(x+2)} - x $

• Dominio. 
  • $ x(x+2) \ge 0 \; ⇒ \; x \le - 2   \; \lor \; x \ge 0 $ 
• Dominio = (-∞, -2] U [0, +∞)

• Segno f(x)
  • $ f(x) > 0 \;  \sqrt{x(x+2)} \gt x $   è una disequazione irrazionale. La disequazione si spezza in due sistemi 

i) Se x  < 0 il sistema da considerare è

$ \begin{cases} x < 0 \\ x^2+2x \ge 0 \end {cases} $

Le cui soluzioni sono x ≤ -2

ii) Se x = 0 da scartare essendo f(x) = 0

iii) Se x > 0 il sistema da considerare è

$ \begin{cases} x \gt 0 \\ x^2+2x \gt x^2 \end {cases} $

Le cui soluzioni sono x > 0

Conclusione.

f(x) > 0 in $D_f(x) \setminus \{0\} $ 

f(x) < 0 in nessun punto.

b.

$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$

dalla definizione

$ \forall M > 0  \quad \forall N > 0 \qquad t.c. \quad \forall x \lt - N \quad \text{   si ha    } f(x) \gt  M $

$  \sqrt{x(x+2)} \gt M + x $

Se x < - M   avremo il membro a destra negativo quindi la disequazione irrazionale è verificata per 

$ x(x+2) > 0 \; \text {  cioè  }  x < -2$

Conclusione. Abbiamo trovato il valore di N basta porre N = M. Infatti se 

x < - N   avremo f(x) > M.