114) lim x che tende a - due ((x+4)/x)=-1
127) lim di x che tende a zero ( e alla -x)=1
114) lim x che tende a - due ((x+4)/x)=-1
127) lim di x che tende a zero ( e alla -x)=1
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Livello 0
Un solo esercizio per post. E' il regolamento.
dalla definizione di limite
$ \forall \epsilon > 0 \quad \exists \; I_{-2} \; t.c. \; \forall x \in I_{-2} \; \text{ si ha } \quad | \frac{x+4}{x} +1| < ε $
Abbiamo indicato con $I_{-2} $ un intorno completo del punto -2 con esclusione di x = -2.
dalle ultime due disequazioni
$ -ε < \frac{2x+4}{x} < ε $
$ -ε < 2 + \frac{4}{x} < ε $
$ -2-ε < \frac{4}{x} < -2+ε $
$ \frac{-2-ε}{4} < \frac{1}{x} < \frac{-2+ε}{4} $
$ \frac{4}{-2+ε} < x < \frac{4} {-2-ε} $
quest'ultimo è un intorno completo di -2
Verifichiamolo con un test
Poniamo ε = 1/10
____-2,1_____-2______-1,9___
21742
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Livello 6
@cmc grazie mille della risposta, avrei un paio di domande, la prima è se posso sempre passare ai reciproci semplicemente invertendo il segno della disequazione senza pormi il problema di moltiplicare per x negativo?
la seconda è come faccio a livello generale ad interpretare il risultato e a dire se è o meno intorno completo del numero a cui tende x, la terza invece volevo sapere se per il secondo esercizio devo fare un altro post.
Attendo chiarimenti, Buon week end lungo intanto 🙂
3. Per il secondo esercizio devi fare un altro posto.
2. Interpretazione del risultato. La definizione di limite si esprime con un " Esiste un δ > 0" in tal caso non c'è nulla da interpretare ma, la ricerca del δ è un po' più complessa. Ho visto che spesso, anzi quasi sempre, la dimostrazione si conclude dichiarando di aver trovato un intorno, cosa che ho fatto e per favorire l'interpretazione l'ho schizzato (vedi test).
1. In generale il reciproco e la moltiplicazione sono per -1 sono due operazioni distinte. Nel nostro caso si doveva passare al reciproco di due numeri negativi quindi così facendo è stato possibile mantenere la doppia disequazione. In generale sarebbe opportuno dividere in due il problema e operare con due singole disequazioni.
21742
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Livello 6
@cmc chiaro, l'unica cosa è che nella tua soluzione viene 4/(-2 piu epsilon)< x<4/(-2-epsilon) il che si traduce nel sistema : x< 4 / (-2-epsilon) con x> 4 /(-2 piu epsilon) ma non dovrebbe venire 4/(-espilon - due ) <x< 4/ (epsilon meno due) e che semplificato fa -2-4/epsilon
Quando passi al reciproco il termine a destra passa a sinistra e viceversa.
Esempio
-3 < 1/x < -2
passando ai reciproci
-1/2 < x < -1/3