Leggi di Kirkoff

Si assumono : 

E1 = 12 V ; E2 = 8 V

R1 = R3 = 10 ohm

R2 = 30 ohm 

conduce E1 (12V)

req' = 10+300/40 = 35/2

I'1 = 12*3/35 = 24/35 di A

I'2 = 24/35*10/40 = 6/35 di A

I'3 = 24/35*30/40 = 18/35 di A 

conduce E2 (8V)

stante la simmetria del circuito si ha 

I''1 = -2I'3/3 = -12/35 di A

I''2 = 2I'2/3 = 4/35 di A

I''3 = -2I'1/3 = -16/35 di A

sovrapposizione degli effetti

I1 = I'1+I''1 = 12/35 di A stesso verso

I2 = I'2+I''2 = 10/35  di A stesso verso

I3 = I'3+I''3 = 2/35 di A stesso verso 

VFE = 12 V

VBA = 60/7 di V

VCD = 4/7 di V

VBA-VCD = 56/7 = 8 V (E2)

Si considera il circuito assegnato operante in regime stazionario di corrente continua.
Si introducono tre correnti di ramo $I_1, I_2, I_3 \in \mathbb{R}$, orientate arbitrariamente come indicato nello schema circuitale. Il segno delle soluzioni determinerà il verso effettivo di percorrenza.

Legge di Kirchhoff delle correnti:

Applicando la legge di conservazione della carica al nodo comune del circuito si ottiene:

\[I_1 - I_2 - I_3 = 0\,. \qquad (*)\]

Legge di Kirchhoff delle tensioni:

Si applica la legge di Kirchhoff delle tensioni alle due maglie indipendenti del circuito.

Maglia sinistra:

Percorrendo la maglia sinistra nel verso concorde con la corrente $I_1$, si ha:

\[E_1 - R_1 I_1 - R_2 I_2 = 0\,.\]

Con i valori numerici $E_1 = 12\,\mathrm{V}$, $R_1 = 10\,\Omega$, $R_2 = 30\,\Omega$, segue:

\[10 I_1 + 30 I_2 = 12. \qquad (\phi)\,.\]

Maglia destra:

Percorrendo la maglia destra nel verso concorde con la corrente $I_3$, tenendo conto dell’orientazione del generatore $E_2$, si ottiene:

\[- E_2 - R_3 I_3 - R_2 I_2 = 0.\]

Con $E_2 = 8\,\mathrm{V}$, $R_3 = 10\,\Omega$, $R_2 = 30\,\Omega$, segue:

\[10 I_3 + 30 I_2 = -8. \qquad (\psi)\]

Dalle equazioni $(*)$, $(\phi)$, $(\psi)$ si ottiene il sistema lineare:

\[
\begin{cases}
I_1 = I_2 + I_3, \\
10 I_1 + 30 I_2 = 12, \\
10 I_3 + 30 I_2 = -8.
\end{cases} \implies
\]

\[10(I_2 + I_3) + 30 I_2 = 12 \quad \Rightarrow \quad 40 I_2 + 10 I_3 = 12. \qquad (+) \implies\]

\[\implies (40 I_2 + 10 I_3) - (30 I_2 + 10 I_3) = 12 - (-8)\,,\]

da cui:

\[10 I_2 = 20 \quad \Rightarrow \quad I_2 = 0.20\,\mathrm{A}.\]

Sostituendo tale valore nell’equazione $(\psi)$:
\[10 I_3 + 30(0.20) = -8 \quad \Rightarrow \quad 10 I_3 = -14 \quad \Rightarrow \quad I_3 = -0.14\,\mathrm{A}\,.\]

Infine, dalla relazione $(*)$:
\[ I_1 = I_2 + I_3 = 0.20 - 0.14 = 0.06\,\mathrm{A}\,.\]

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/esercizio-con-leggi-di-kirchoff/#post-270627

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...stralcio

nei sistemi "quasi" stazionari si "ammette" {in prima appross.} la validità delle leggi di Kirchhoff ...

nei nodi { n ---> nodi indip n-1}:

1) sommatoria corr. entranti = sommatoria corr. uscenti 

alle maglie { numero di maglie indip. ---> lati - nodi indip. ---> l - n +1}:

2) sommatoria fem = sommatoria cdt 

p.s.

per lato va inteso il collegamento con elementi non nulli fra due nodi 

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... è stato svolto presupponendo questi dati:

E1 = 12 V  ;  E2 = 8 V 

r1 = 20 ohm  ;  r2 = 30 ohm  ;   r3 = 10 ohm

svolgimento...

nodi n = 2 (A e B)  indipendenti n-1 = 1

rami o lati l = 3  maglie indipendenti  l - (n-1) = 2 

nodo A ( o B) 

i1 = i2 + i3   --->    x = y + z

m1 {si sono rispettati i "versi di percorrenza" del foglio dell'utente... che incidono solo sul segno delle equazioni alle maglie}

E1 = r1*i1 + r2*i2   --->    12 = +20*x + 30*y

m2 

-E2 = +r3*i3 - r2*i2   --->   - 8 = +10z - 30y

x = 12/55, y = 14/55, z = -2/55

i1 = x≈0.21818 A = 218.18 mA,   i2 = y≈0.25455 A = 254.55 mA ,    i3 = z≈-0.036364 A = 36.364 mA

...controlla...

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verifica con millman

Vab = (-12/20 +0/30 -8/10)/(1/20+1/30 + 1/10) = -84/11 V = -7.(63)V

E1-r1*i1 = -Vab --->-E1+r1*i1 = Vab

i1 = (Vab+E1)/r1 =12/55 = 0.2(18) A

i2 = -Vab/r2 = 14/55 = 0.2(54) A

E2 = -i3*r3 -Vab

i3 = (-Vab-E2)/r3 = -2/55 = -0.0(36) A

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/principio-di-millman/#post-52965

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è:

Vab = - Vba = Vao - Vbo = Va - Vb  ... sottintendendo un punto O in comune

i2= 0.2(54) A  --->  le parentesi tonde racchiudono il "periodo"