[Risolto] Iperbole equilatera

L'equazione parametrica
* Γ(k) ≡ x^2 + (1 - k^2)*y^2 - (2*k^2)*y - k^2 = 0
rappresenta curve per Q((√2)/2, 0) = (1/√2, 0) se e solo se
* (1/√2)^2 + (1 - k^2)*0^2 - (2*k^2)*0 - k^2 = 0 ≡
≡ k = ± 1/√2
e presenta tre casi particolari per k in {- 1, 0, 1}
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1) Γ(- 1) ≡ x^2 + (1 - (- 1)^2)*y^2 - (2*(- 1)^2)*y - (- 1)^2 = 0 ≡
≡ y = (x^2 - 1)/2
rappresenta una parabola.
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2) Γ(0) ≡ x^2 + (1 - 0^2)*y^2 - (2*0^2)*y - 0^2 = 0 ≡
≡ x^2 + y^2 = 0
rappresenta una circonferenza degenere sul proprio centro (0, 0).
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3) Γ(1) ≡ x^2 + (1 - 1^2)*y^2 - (2*1^2)*y - 1^2 = 0 ≡
≡ y = (x^2 - 1)/2
rappresenta la stessa parabola di Γ(- 1).
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Dopo l'esclusione dei casi particolari si tratta di identificare l'iperbole equilatera, che non potrebb'essere una funzione omografica avendo già visto che k = ± 1 dà una parabola.
Resta la sola possibilità di ridurre Γ(k) alla forma normale standard
* (x - α)^2/U + (y - β)^2/V = 1
che rappresenta un'iperbole se U*V < 1, equilatera se U + V = 0.
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* Γ(k) ≡ x^2 + (1 - k^2)*y^2 - (2*k^2)*y - k^2 = 0 ≡
≡ x^2 + (1 - k^2)*(y - k^2/(1 - k^2))^2 = k^2/(1 - k^2) ≡
≡ x^2/(k^2/(1 - k^2)) + (y - k^2/(1 - k^2))^2/((k^2/(1 - k^2)^2)) = 1
A tale forma standard la condizione di equilateralità impone il vincolo
* U + V = 0 ≡
≡ k^2/(1 - k^2) + k^2/(1 - k^2)^2 = 0 ≡
≡ (2 - k^2)*k^2/(1 - k^2)^2 = 0
che, insieme a quello d'esclusione dei casi particolari, si riduce a
* 2 - k^2 = 0 ≡ k = ± √2