Data l'iperbole di equazione $x y=k, 0<k<1$, sia $A$ un suo punto di ascissa $k$ e siano $B$ e $C$ i suoi vertici. Determina il valore di $k$ che rende massima l'area del triangolo $B A C$.
$$
\left[k=\frac{1}{3}\right]
$$
Data l'iperbole di equazione $x y=k, 0<k<1$, sia $A$ un suo punto di ascissa $k$ e siano $B$ e $C$ i suoi vertici. Determina il valore di $k$ che rende massima l'area del triangolo $B A C$.
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\left[k=\frac{1}{3}\right]
$$
105
punti
Livello 0
I vertici sono i punti d'intersezione della bisettrice del primo e terzo quadrante con la conica. Hanno quindi coordinate
B, C = (±radice k ; ± radice k)
La base del triangolo è: BC = 2*radice (2k)
L'altezza del triangolo è la distanza del punto A(k;1) dalla bisettrice y=x
d= |1-k|/radice 2
Essendo k<1 il punto scelto sta sempre sopra la retta y=x e quindi:
d= (1-k)/radice (2)
L'area del triangolo è:
S(k) = b*h/2 = (1-k)*radice (K)
S'(k) = (1-3k)/(2*radice k)
Quindi abbiamo un massimo per: k=1/3
75845
punti
Genius II