[Risolto] Settore circolare

Il settore circolare ha perimetro formato dai due raggi e dall'arco di circonferenza:

$ p = 2r + a$

Dalla definizione di angolo in radianti, sappiamo che:

$ \alpha = \frac{a}{r}$

dunque possiamo scrivere:

$ p= 2r + r\alpha = 12$

da cui:

$ \alpha = \frac{12-2r}{r}$

L'area di un settore circolare di ampiezza $\alpha$ si può calcolare dalla semplice proporzione:

$ A_s : \pi r^2 = \alpha : 2\pi$

$ A_s = \frac{\pi r^2 \cdot \alpha}{2\pi} = \frac{\alpha r^2}{2}$

 e sostituendo il valore di $\alpha$ in funzione di r:

$ A_s(r) = \frac{\frac{12-2r}{r} \cdot r^2}{2} = \frac{12r - 2r^2}{2} = 6r-r^2$

andiamo a massimizzare l'area, trovandone la derivata:

$A_s'(r) = 6-2r$

Il massimo lo abbiamo per

$6-2r=0$

$ r = 3$

Noemi

L'area del settore circolare conoscendo il raggio e la lunghezza dell'arco è:

A(R) = L*R/2

Esprimo la lunghezza L come differenza tra il perimetro del settore circolare e il diametro della circonferenza 

L(R) = 12 - 2R

Sostituendo la seconda equazione nella prima si ricava:

A(R) = (6 - R) *R

Parabola con asse parallelo asse y e Concavità verso il basso. Punto di massimo nel vertice di ascissa R=3