Iperbole

@francesca1710

Ciao , buona sera.

Preferisco scrivere:y = α^3·x^2/3 + α^2·x/2 - 2

in modo tale da considerare:

a = α^3/3

b = α^2/2

c = -2

Δ = b^2 - 4·a·c

A questo punto il vertice V ha coordinate:

V[- b/(2·a), - Δ/(4·a)]

Quindi:

- α^2/2/(2·α^3/3) = - 3/(4·α)

- ((α^2/2)^2 - 4·α^3/3·(-2))/(4·α^3/3) = - (3·α + 32)/16

quindi il vertice è dato da coordinate parametriche:

{x = - 3/(4·α)

{y = - (3·α + 32)/16

dalla 1^: α = - 3/(4·x) che, inserita nella seconda fornisce il luogo geometrico cercato:

y = - (3·(- 3/(4·x)) + 32)/16-------> y = 9/(64·x) - 2

xV = - B/(2A) = - a^2/2 : 2a^3/3 = - 3/(4a)

yV = (4AC - B^2)/(4A) = C - B^2/(4A) = - 2 - a^4/4 * 1/(4 a^3/3) = - 2 - a^4/4 * 3/(4a^3) = - 2 - 3a/16

a = -3/(4x)

y = - 2 - 3/16 * (-3/4) * 1/x

y = - 2 + 9/(64x)

y = (9 - 128x)/(64x)

IL "risultato xy=105/64" L'HA SCRITTO UN UBRIACO: non gli credere!
------------------------------
L'esercizio, con un testo che mi rammenta tanto gli IOCCC (The International Obfuscated C Code Contest: http://www.ioccc.org/) di quando mi divertivo, chiede il luogo dei vertici della famiglia di parabole
* Γ(a) ≡ y = (a^3/3)*x^2 + (a^2/2)*x - 2 ≡
≡ y = (a^3/3)*(x^2 + (3/(2*a))*x - 6/a^3) ≡
≡ y = (a^3/3)*((x + 3/(4*a))^2 - (3/(4*a))^2 - 6/a^3) ≡
≡ y = (a^3/3)*(x + 3/(4*a))^2 - (3*a + 32)/16
da cui si ricavano
* apertura a^3/3 != 0
* vertice V(- 3/(4*a), - (3*a + 32)/16)
e da ciò, eliminando il parametro, si ha l'equazione richiesta.
* (x = - 3/(4*a)) & (y = - (3*a + 32)/16) ≡
≡ (a = - 3/(4*x)) & (y = 9/(64*x) - 2)
------------------------------
La consegna "Trova un'equazione per questa iperbole" è soddisfatta da
* y = 9/(64*x) - 2
che però come iperbole pare sciupatella e bisognosa di un massaggino.
* y = 9/(64*x) - 2 ≡
≡ x*y = (9 - 128*x)/64
così ha una migliore apparenza, ma
* 9 - 128*x = 105
è vero solo all'ascissa x = - 3/4, mica ovunque!