In figura è rappresentato il grafico della funzione f(x) = ax e^-x/b, che ha un massimo relativo in x = 3.
- Usare i dati in figura per determinare i valori dei parametri reali non nulli a e b.
Notiamo che il grafico della funzione passa per i punti O(0,0) e A(9, 18/e^3).
Il passaggio per il punto O non ci dà alcuna informazione, infatti sostituendo le coordinate otteniamo solo $0=0$.
Dal punto A:
$ \frac{18}{e^3} = 9a e^{-9/b}$
Inoltre sappiamo che la funzione presenta un massimo in $x=3$ per cui la derivata prima deve annullarsi in tale punto:
$ f'(x) = ae^{-x/b} + ax e^{-x/b}*(\frac{-1}{b})$
$ f'(3) = ae^{-3/b} - \frac{3a}{b}e^{-3/b} = 0$
$ ae^{-3/b} (1-\frac{3}{b}) = 0$
$ \frac{3}{b} = 1$
$ b = 3$
ritorniamo alla condizione di passaggio per A, sostituendo la b trovata:
$ \frac{18}{e^3} = 9a e^{-9/3}$
$ \frac{18}{e^3} = \frac{9a}{e^3}$
$ 18 = 9a$
$ a = 2$
Dunque la funzione è:
$ f(x) = 2x e ^{-\frac{x}{3}}$
calcolare l'equazione dell'asintoto orizzontale destro della funzione e l'ordinata del
suo punto di massimo.
Calcoliamo l'asintoto:
$ lim_{x\rightarrow + \infty} 2x e ^{-\frac{x}{3}} = lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{2x}{e ^{\frac{x}{3}}} = 0$
Inoltre sapendo che il massimo è in $x=3$, troviamo l'ordinata sostituendo:
$y = f(3) = 6e^{-\frac{3}{3}} = \frac{6}{e}$
Verificare analiticamente che la la funzione non ha asintoto obliquo sinistro e determinare le coordinate del punto di flesso F della funzione f (x).
L'asintoto obliquo sinistro non esiste perché:
$ lim_{x\rightarrow - \infty} \frac{2x e ^{-\frac{x}{3}}}{x} = lim_{x\rightarrow - \infty} e ^{-\frac{x}{3}} = +\infty $
Per il flesso partiamo dalla derivata prima già trovata in precedenza, in cui sostituiamo il valore di a e b:
$ f'(x) = 2e^{-x/3} + 2x e^{-x/3}*(\frac{-1}{3}) = 2e^{-x/3}(1-\frac{1}{3} x)$
e troviamo la derivata seconda:
$ f''(x)= 2e^{-x/3}(\frac{-1}{3})(1-\frac{1}{3} x) + 2e^{-x/3}{\frac{-1}{3}}$
$ f''(x)= 2e^{-x/3}(\frac{-1}{3}+\frac{1}{9} x -\frac{1}{3})$
$ f''(x)= 2e^{-x/3}(\frac{1}{9} x -\frac{2}{3})$
Cerchiamo il flesso:
$2e^{-x/3}(\frac{1}{9} x -\frac{2}{3}) = 0$
$ \frac{1}{9} x -\frac{2}{3} = 0$
$ x = 6$
da cui
$f(6) = 12 e ^{-\frac{12}{3}} = \frac{12}{e^4}$
Dal grafico della funzione f (x) dedurre il grafico qualitativo della funzione derivata prima f'(x).
spiegando il suo legame con il grafico della funzione f (x).
La derivata sarà positiva per x<3, dove la funzione è crescente, e negativa per x>3.
Nel punto x=3 ha uno zero, in quanto è massimo.
Inoltre avrà un estremo in x=6, che è flesso per la funzione f.
Sia P un punto del grafico della funzione f(x) di ascissa positiva. Dette A e B rispettivamente le proiezioni ortogonali del punto P sull'asse x e sull'asse y, determinare le coordinate di P che rendono massima l'area del rettangolo APBO.
Il punto P avrà coordinate $P(x, 2x e ^{-\frac{x}{3}})$ essendo un punto della funzione.
Dunque $A = x$ e $B = 2x e ^{-\frac{x}{3}}$.
Nel rettangolo APBO abbiamo dunque:
$ AO = x$
$ OB = 2x e ^{-\frac{x}{3}}$
e l'area è:
$ A(x) = AO*OB = 2x^2 e ^{-\frac{x}{3}}$
rendiamola massima, calcolandone la derivata:
$ A'(x)= 4x e ^{-\frac{x}{3}} + 2x^2 e ^{-\frac{x}{3}} (\frac{-1}{3})$
$ A'(x) = 2xe^{-frac{x}{3}}(2 -\frac{x}{3}) = 0$
da cui
$ x = 0$ o $x = 6$
Il massimo è in $x=6$, dunque P(6,12/4e^4).
Calcolare l'area compresa tra la funzione f (x) data e l'asse delle x da x=0 a x=3
Integriamo:
$\int_0^3 2x e ^{-\frac{x}{3}} dx$
dato che la derivata dell'esponente è -1/3, portiamo fuori il 2.
$2 \int_0^3 x e ^{-\frac{x}{3}} dx$
e moltiplichiamo e dividiamo per -1/3:
$-6 \int_0^3 \frac{-1}{3}x e ^{-\frac{x}{3}} dx$
Possiamo dunque integrare la funzione composta:
$ -6 [e^{-\frac{x}{3}}]_0^3 = $
$ -6(e^{-1} - e^{0}) = -6(e^{-1} - 1) = \frac{-6}{e} +6$
Noemi
