Salve, potreste aiutarmi con questo esercizio?
Trovare il flusso del campo vettoriale F(x,y,z)=(2x+z, y, z+x) attraverso la superficie di equazione x-y^2=z^2 con x€ [1/4, 1]
Da quanto ho capito, si tratta di una superficie aperta, quindi per applicare il teorema della divergenza dovrei mettere un "tappo" al paraboliche, e poi togliere il contributo di flusso attraverso questo tappo, ma non so come procedere nei calcoli.
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Livello 1
Il problema della chiusura col tappo é irrilevante quando passi al volume.
div F = 2 + 1 + 1 = 4
dV = dx dy dz
x = y^2 + z^2
e qui dovresti procedere ad un cambio di coordinate
per ogni altezza x fra 1/4 e 1
r varia fra 0 e rad(x)
mentre @ va da 0 a 2pi
SSS_[V] 4 dx dy dz = 4 S_[1/4,1] (S_[0, rad(x)] S_[0,2pi] r dr d@ ) dx =
= 4 S_[1/4,1] 2 pi [r^2]_[0, rad(x)] dx =
= 8 pi S_[1/4, 1] x dx =
= 4 pi [ x^2 ]_[1/4,1] =
= 4 pi * (1 - 1/16 ) =
= 4/16 * 15 pi =
= 15/4 pi
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Livello 6
Il paraboloide di rotazione
* x = y^2 + z^2
* intersecato dal piano x = 1/4 forma un cerchio di raggio 1/2 e area π/4
* intersecato dal piano x = 1 forma un cerchio di raggio 1 e area π
quindi di tappi te ne servono due.
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"come procedere nei calcoli"
Io considererei un tappo per volta calcolando prima per x in [0, 1], poi per x in [0, 1/4], e infine prendendo la differenza.
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Genius I
@exprof grazie mille
@exprof scusatemi ancora per il disturbo, ma una superficie del tipo x^2+y^2<=2x, z∈[0,1] è una superficie aperta, giusto?
@dialessluca
Direi di sì, un cilindro limitato privo delle basi; per chiuderlo le basi servono.
