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[Risolto] Integrale definito - Analisi 1

  

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Buonasera, qualcuno potrebbe aiutarmi con la risoluzione del seguente integrale definito:

\[
I=\int_{1}^{\sqrt[5]{2}} \frac{20}{x^{11}+2 x} d x
\]

Grazie in anticipo a tutti

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1 Risposta
4

Riscriviamo l'integrale come
\[
\begin{array}{l}
\qquad \begin{aligned}
I &=\int_{1}^{5} \frac{20}{x^{11}+2 x} d x=\int_{1}^{5 \sqrt{2}} \frac{20}{x\left(x^{10}+2\right)} d x \\
\text { e posto } x^{5}=t \text { con } & d x=\frac{d t}{5 \sqrt[5]{t^{4}}} \text { abbiamo } \\
I &=\int_{1}^{2} \frac{20}{\sqrt[5]{t}\left(t^{2}+5\right)} \frac{d t}{5 \sqrt[5]{t^{4}}}=4 \int_{1}^{2} \frac{1}{t\left(t^{2}+2\right)} d t
\end{aligned}
\end{array}
\]
decompiano la funzione integranda come segue
\[
\frac{A}{t}+\frac{B t+C}{t^{2}+2}=\frac{1}{t\left(t^{2}+2\right)} \quad \text { con } A, B, C \in \mathbb{R}
\]
da cui
\[
(A+B) t^{2}+C t+2 A+C=1
\]
e per il principio di identità dei polinomi abbiamo
\[
\left\{\begin{array}{l}
A+B=0 \\
C=0 \\
2 A+C=1
\end{array}\right.
\]

che ha soluzione
\[
A=\frac{1}{2}, \quad B=-\frac{1}{2} \quad \text { e } \quad C=0
\]
dunque
\[
\begin{aligned}
4 \int_{1}^{2} \frac{1}{t\left(t^{2}+2\right)} d t &=2 \int_{1}^{2} \frac{1}{t} d t-2 \int_{1}^{2} \frac{t}{t^{2}+2} d t=\\
&=\left.2 \log |t|\right|_{1} ^{2}-\left.\log \left(t^{2}+2\right)\right|_{1} ^{2}=2 \log 2-\log 6+\log 3=\log 2
\end{aligned}
\]

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