Siao y=fx) una funzione derivabile nell'insieme dei numeri reali e tale che f(0)>0 e f(1)=0.
Siao y=fx) una funzione derivabile nell'insieme dei numeri reali e tale che f(0)>0 e f(1)=0.
Una delle tantissime funzioni che rispecchiano i requisiti del problema è:
$f(x)=cos(\frac{\pi}{2}x)$
infatti $f(0)=cos(0)=1>0$ e $f(1)=cos(\frac{\pi}{2})=0$
inoltre è derivabile su tutto R.
$g(x)=\int {f(x) dx}=\frac{2}{\pi}sin(\frac{\pi}{2}x)+C$
se $g(1)=1$ significa che
$g(1)=\frac{2}{\pi}sin(\frac{\pi}{2})+C=\frac{2}{\pi}+C$ e quindi
$C=1-\frac{2}{\pi}$
quindi
$g(x)=\frac{2}{\pi}sin(\frac{\pi}{2}x)+1-\frac{2}{\pi}$
La funzione $F(x)=\int\limits_{1}^{x} {f(t) dt}=\frac{2}{\pi}(sin(\frac{\pi}{2}x)-1)$
per calcolare la pendenza della retta tangente devo calcolare la sua rerivata, che ovviamente è $f(x)=cos(\frac{\pi}{2}x)$. Calcolata in $x_0=2$ si ottiene:
$f(2)=cos(\pi)=-1$
quindi la retta tangente ha pendenza $-1$.
Calcoliamo adesso $F(2)=-\frac{2}{\pi}$
quindi la retta tangente di eqauzione $y=-x+q$ deve passare per il punto $P(2,-\frac{2}{\pi})$
quindi
$-\frac{2}{\pi}=2+q$ cioè $q=-\frac{2}{\pi}-2$
La retta cercata ha quindi equazione:
$y=-x-\frac{2}{\pi}-2$
per calcolare
$\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{F(x)}{f(x)}$ cioè
$\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{\frac{2}{\pi}(sin(\frac{\pi}{2}x)-1)}{cos(\frac{\pi}{2}x)}$
che è una forma indeterminata $\frac{0}{0}$ si può applicare il teorema di de l'Hopital:
$\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{cos(\frac{\pi}{2}x)}{-\frac{\pi}{2}sin(\frac{\pi}{2}x)}$
che tende a 0 (numeratore tende a 0, denominatore tende a $-\frac{\pi}{2}$)
Quindi il risultato del limite è 0.
@Leti1002 Scusa?? non ho capito nulla di quello che mi hai chiesto...