[Risolto] Problema di matematica e fisica.

Una delle tantissime funzioni che rispecchiano i requisiti del problema è:

$f(x)=cos(\frac{\pi}{2}x)$

infatti $f(0)=cos(0)=1>0$ e $f(1)=cos(\frac{\pi}{2})=0$

inoltre è derivabile su tutto R.

$g(x)=\int {f(x) dx}=\frac{2}{\pi}sin(\frac{\pi}{2}x)+C$

se $g(1)=1$ significa che 

$g(1)=\frac{2}{\pi}sin(\frac{\pi}{2})+C=\frac{2}{\pi}+C$ e quindi

$C=1-\frac{2}{\pi}$

quindi

$g(x)=\frac{2}{\pi}sin(\frac{\pi}{2}x)+1-\frac{2}{\pi}$

La funzione $F(x)=\int\limits_{1}^{x} {f(t) dt}=\frac{2}{\pi}(sin(\frac{\pi}{2}x)-1)$

per calcolare la pendenza della retta tangente devo calcolare la sua rerivata, che ovviamente è $f(x)=cos(\frac{\pi}{2}x)$. Calcolata in $x_0=2$ si ottiene:

$f(2)=cos(\pi)=-1$ 

quindi la retta tangente ha pendenza $-1$. 

Calcoliamo adesso $F(2)=-\frac{2}{\pi}$ 

quindi la retta tangente di eqauzione $y=-x+q$ deve passare per il punto $P(2,-\frac{2}{\pi})$

quindi

$-\frac{2}{\pi}=2+q$ cioè $q=-\frac{2}{\pi}-2$

La retta cercata ha quindi equazione:

$y=-x-\frac{2}{\pi}-2$

per calcolare

$\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{F(x)}{f(x)}$ cioè

$\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{\frac{2}{\pi}(sin(\frac{\pi}{2}x)-1)}{cos(\frac{\pi}{2}x)}$

che è una forma indeterminata $\frac{0}{0}$ si può applicare il teorema di de l'Hopital:

$\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{cos(\frac{\pi}{2}x)}{-\frac{\pi}{2}sin(\frac{\pi}{2}x)}$ 

che tende a 0 (numeratore tende a 0, denominatore tende a $-\frac{\pi}{2}$)

Quindi il risultato del limite è 0.