Sapendo che un triangolo T ha due lati di lunghezza 8 e 12 ed un angolo (non compreso tra i due lati assegnati) di ampiezza 35 gradi, determinare quali sono tutti i possibili valori dell'area del triangolo e tutte le possibili ampiezze degli altri due angoli di T.
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Livello 1
@anna-sa91 allora io potrei avere una soluzione, però utilizzo le funzioni coseno seno. Non so se tu le hai già fatte oppure no
Il tuo problema è molto interessante. Prima di tutto chiamiamo x il lato mancante.
Per poter formare un triangolo, ogni lato deve essere minore della somma degli altri due e contemporaneamente maggiore della loro differenza. Siccome gli altri due lati sono 8 e 12 ottieni che:
x<20 e x>4 , ovvero 4<x<20 (considerale come condizioni di esistenza)
Ora dobbiamo considerare tutti i casi possibili: siccome 35° non è l'angolo tra i due lati che conosci, vuol dire che sarà l'angolo tra 8 e x, oppure tra 12 e x.
PRIMO CASO: ANGOLO TRA 8 E X
Per risolvere questi problemi serve il teorema del coseno (o teorema di Carnot). Questo teorema dice che se i lati di un triangolo si chiamano a,b,c e l'angolo tra b e c si chiama y, allora sappiamo per certo che a^2= b^2 + c^2 - 2*b*c*cos(y)
Nel tuo caso abbiamo a=12, b=8, c=x, y=35° (b e c ovviamente puoi anche scambiarli)
allora la formula diventa:
144 = 64 + x^2 - 16x*cos(35°)
risolvendo l'equazione di secondo grado ottieni due risultati:
1) x= 17,5 (soluzione accettabile perchè rispetta le condizioni di esistenza)
2) x= - 4,5 (risultato impossibile)
Ora che abbiamo trovato 3 lati, applichiamo la stessa formula per trovare un altro angolo:
per esempio, consideriamo come lato a quello lungo 8 così troviamo y che è l'angolo tra 12 e x (=17,5)
64 = 144 + 306,25 - 420cos(y)
otteniamo che cos(y)= 0.92 e quindi y= 23,12°
l'altro angolo ovviamente sarà 180-35-23.12 = 121.88°
Abbiamo trovato la prima soluzione possibile!
SECONDO CASO: ANGOLO TRA 12 E X
Come avrai ben capito dobbiamo rifare lo stesso ragionamento ma ponendo i 35° tra l'angolo di 12 e x
la formula diventa: 64 = 144 + x^2 - 24x*cos(35°)
e le due soluzioni sono:
1) x= 13,9
2) x= 5,75
entrambe queste soluzioni sono accettabili quindi dobbiamo fare i calcoli di prima usando prima una x e poi l'altra! Prendiamo il lato che misura 12 come lato a
Usando la prima x otteniamo: 144= 64 + 193,2 - 222*cos(y)
il risultato è y= 59,3°, quindi il terzo angolo sarà 85,7°
Usando la seconda x abbiamo: 144= 64 + 33 - 92*cos(y)
il risultato è y= 121°, quindi il terzo angolo sarà 24°
Abbiamo così trovato tutte le possibili combinazioni di lati e angoli, ora te le elenco:
1) 8; 12; 17,5; 35°; 23,12°; 121,88°
2) 8; 12; 13,9; 35°; 59,3°; 85,7°
3) 8; 12; 5,75; 35°; 121°; 24°
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Livello 3
..."un angolo (non compreso tra i due lati assegnati) di ampiezza 35 gradi" limita i possibili triangoli a due
triangolo N° 1
12^2 = 144 = 8^2+x^2-2*8*x*cos 35°
144 = 64+x^2-16x*0,819
x^2-13,1x-80 = 0
x = (13,1+√13,1^2+320 )/2 = 17,6 cm
semi-perim. p = (17,6+20)/2 = 18,8 cm
area A = √18,8*(18,8-17,6)*(18,8-12)*(18,8-8) = 40,7 cm^2
17,6^2 = 8^2+12^2-2*8*12*k
192k = 64+144-310
k = (208-310)/192 = -0,531 = arccos Θ
Θ = 122°
Θ' = 180-(122+35) = 23°
triangolo N° 2
8^2= 64 = 12^2+x^2-2*12*x*cos 35
64 = 144+x^2-0,819*24*x
x^2-19,7x+80 = 0
x = (19,7+√19,7^2-80*4)/2 = 14,0 cm
semi-perim. p' = (8+12+14)/2 = 17 cm
area A' = √17*(17-14)*(17-12)*(17-8) = 47,9 cm^2
14^2 = 8^2+12^2-2*8*12*k'
196k' = 208-196
k' = 12/196 = 0,0612 = arccos Θ''
Θ'' = arccos(0,0612) = 86,5°
Θ''' = 180-(86,5+35) = 58,5°
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Genius II
