Geometria - teoremi di Pitagora e di Euclide

Guarda la figura;

L'ipotenusa AB  è il diametro del cerchio circoscritto;

R = AB/2 = a radice(2) /2;

r = 2 * Area / Perimetro; raggio del cerchio inscritto;

2 * Area = a^2;

Perimetro = a + a + a * radice(2);

r = a^2 / [2a + a radice(2)] = a / [2 + radice(2)].

https://www.studenti.it/il-raggio-di-una-circonferenza-inscritta-in-un-triangolo-come-si-calcola.html#text=della%20circonferenza%20inscritta.-,Formula%20del%20raggio,e%20dividendo%20per%20il%20perimetro.

Ciao @user123456

@user123456

L'ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele inscritto risulta essere il diametro della circonferenza circoscritta.

Essendo il triangolo rettangolo isoscele l'ipotenusa risulta essere uguale alla misura del cateto per radice (2).

Con riferimento alla figura:

 

AB= AC*radice (2) = a*radice (2)

 

Quindi il raggio della circonferenza circoscritta è:

R= AB/2 = (a/2)*radice (2)

 

**********

 

Passiamo al calcolo del raggio r della circonferenza inscritta. 

Possiamo determinare il raggio della circonferenza inscritta sfruttando le proprietà geometriche della circonferenza. 

 

Sappiamo che il raggio vettore passante per il punto di tangenza è ivi perpendicolare alla retta tangente e che i segmenti di tangenza AO e AH sono congruenti. 

Indicando con r il raggio della circonferenza inscritta, risulta:

 

r= HC = AC - AH = AC - A0 =

    = a - (a/2)*radice (2)

chiamati r ed R i due raggi :

r = 2A /2p = a^2/(a(2+√2)) = a/(2+√2)

R = i/2 = a√2 /2 

R/r = a√2 /2 * (2+√2)/a = (2√2+2)/2 = 1+√2

Triangolo rettangolo e isoscele:

cateti $BC=AC= a$;

ipotenusa $AB= a\sqrt{2}$;

area $A= \frac{a*a}{2} = \frac{a^2}{2}$;

perimetro $2p= a+a+a\sqrt{2} = 2a+a\sqrt{2}$;

a) - raggio del cerchio inscritto:

$r= \frac{2A}{2p} = \frac{\frac{2a^2}{2}}{2a+a\sqrt{2}}= \frac{a^2}{2a+a\sqrt{2}}$.

 

b) - Raggio del cerchio circoscritto.

Raggio $R=\frac{c*c*ip}{4A}=\frac{a*a*a\sqrt{2}}{4*\frac{a^2}{2}}=\frac{a^3\sqrt{2}}{2a^2}= \frac{a\sqrt{2}}{2}$ questa sarebbe la formula generale per i triangoli, cioè il prodotto dei lati fratto 4 volte l'area;

ma, siccome nei triangoli rettangoli il raggio del cerchio circoscritto è la metà dell'ipotenusa, puoi calcolare semplicemente come segue:

$R= \frac{AB}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.