Geometria - teoremi di Pitagora e di Euclide

@user123456

Figura 1)

Il triangolo rettangolo ABH ha angoli di 30, 60 e 90 gradi. Il cateto BH opposto all'angolo di 30 gradi è metà dell'ipotenusa AB. 

AH cateto opposto all'angolo in B (60 gradi)  è uguale a BH*radice (3).

Quindi:

AH= 4*radice (3)

 

L'angolo in B risulta come detto di 60 gradi, quindi l'angolo in C= 30.

Allora possiamo scrivere che:

 

AC= 2*AH

(L'ipotenusa è il doppio del cateto opposto all'angolo di 30) 

Quindi:

AC = 8*radice (3)

 

Figura 2)

Posto l'ipotenusa:

EF= x

 

Dal primo teorema di Euclide risulta:

DF² = EF*HF = x* (x-4)

9*5 = x² - 4x

(x-9)*(x+5)=0

 

Soluzione accettabile: x=9

Quindi:

EF=9

HF = 9-4= 5

 

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo DHF, si determina:

DH= radice (45-25) = 2*radice (5)

Triangolo rettangolo ABC:

Ipotenusa $BC= \frac{8^2}{4} = \frac{64}{4} = 16~cm$ (1° teorema di Eudlide);

cateto $AC= \sqrt{16^2-8^2} = 8\sqrt{3} ~cm$ (teorema di Pitagora).

 

Triangolo rettangolo DEF:

ipotenusa $EF= x$;

proiezione cateto minore $EH= 4~cm$;

proiezione cateto maggiore $HF= x-4$;

cateto maggiore $DF= 3\sqrt{5}~cm$;

troviamo ora l'ipotenusa incognita applicando il 1° teorema di Euclide nella seguente equazione:

$x = \frac{(3\sqrt{5})^2}{x-4}$

$x = \frac{9*5}{x-4}$

$x = \frac{45}{x-4}$

$x(x-4) = 45$

$x^2-4x = 45$

$x^2-4x-45 = 0$

equazione di secondo grado completa quindi applica la formula risolutiva con i seguenti dati:

$a= 1$;

$b= -4$;

$c= -45$;

$∆= b^2-4ac = (-4)^2-(4*1*-45) = 16-(-180) = 16+180 = 196$;

$x_{1,2}= \frac{-b±\sqrt{∆}}{2a} = \frac{-(-4)±\sqrt{196}}{2*1} = \frac{4±14}{2}$; quindi:

$x_1= \frac{4-14}{2} = \frac{-10}{2} = -5$;

$x_2= \frac{4+14}{2} = \frac{18}{2} = 9$;

prendiamo $x_2= 9$ poiché la misura di un lato non può essere negativa;

risultati:

ipotenusa $EF= x= 9~cm$;

proiezione cateto maggiore $HF= x-4 = 9-4 = 5~cm$;

infine:

altezza $DH= \sqrt{EH*HF} = \sqrt{4*5} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}~cm$ (2° teorema di Euclide).

 

AH = 4√4-1 = 4√3

CH = AH^2/4 = 48/4 = 12 (Euclide)

AC = √AH^2+CH^2 = √12^2+48 = √192 = √64*3 = 8√3 (Pitagora)

 

DH^2 = DF^2-HF^2 = 45-HF^2 (Pitagora)

DH^2 = 4*HF (Euclide)

uguagliando le due espressioni di DH^2 si ha :

45-HF^2 = 4HF

HF = (4-√4^2+45*4)/-2 = (4-14)/-2 = 5 

DH = √DF^2-HF^2 = √45-5^2 = √20 = √4*5 = 2√5 (Pitagora)