Nello spazio euclideo E3, si considerino i piani
π1) x + y − z = 0 π2) x − y − 2z = −1
(a) Si determini il piano π3, parallelo al piano α) 4x − 6z − 3 = 0 ed appartenente al fascio F individuato da π1 e π2.
(b) Si calcoli la distanza dall’origine del riferimento dalla retta r, asse del fascio F.
Soluzioni: (a)2x−3z+1=0. (b)p21/98
Mi potreste aiutare con questo esercizio?
10
punti
Livello 0
a)
x + y - z + k(x - y - 2z + 1) = 0
Il parallelismo delle normali porta a
(1 + k, 1 - k, -1 - 2k) = q(4, 0, -6)
1 - k = 0
k = 1
(2,0,-3) = q(4,0,-6) => q = 1/2
con k = 1
x + y - z + x - y - 2z + 1 = 0
2x - 3z + 1 = 0
b)
Mettendo a sistema
{ x + y - z = 0
{ x - y - 2z = -1
z = x + y
x - y - 2(x + y) = -1
x - y - 2x - 2y = -1
- x - 3y = -1
x + 3y = 1
e le equazioni parametriche della retta sono
x = 1 - 3y
y = y
z = x + y = 1 - 2y
Pertanto la distanza da O del generico suo punto é data da
d^2 = (1 - 3t)^2 + t^2 + (1 - 2t)^2 =
= 1 - 6t + 9t^2 + t^2 + 1 - 4t + 4t^2 =
= 14 t^2 -10 t + 2
questa espressione é minima nel vertice della parabola rappresentativa
t* = -B/(2A) = 10/28 = 5/14
d^2_min = 14*25/196 - 10*5/14 + 2 = (350 - 50*14 + 392)/196 = 42/196
d_min = rad (21/98)
37015
punti
Livello 6
3883
punti
Livello 2
