Considera la funzione
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
a x^2(x+2)+b x-8 a, & \text { se } x<2 \\
\ln (x-1), & \text { se } x \geq 2
\end{array} .\right.
$$
Determina per quali valori dei parametri reali $a$ e $b$ la funzione è ovunque continua e derivabile.
In allegato la foto
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Livello 1
Le due componenti della funzione definita a tratti sono continue in tutto il loro campo di definizione e sono pure derivabili in esso.
La seconda componente fornisce il valore della funzione e della sua derivata nel punto critico A(2,0).
y = LN(x - 1)---> y = LN(2 - 1)----> y = 0
y'=dy/dx=1/(x - 1)----> 1/(2 - 1)----> y' =1
I limiti della prima componente per x-->2- forniscono quindi le due condizioni che permettono la continuità della funzione e della sua derivata. Tali condizioni:
LIM(a·x^2·(x + 2) + b·x - 8·a) = 8·a + 2·b
x---> 2-
LIM(3·a·x^2 + 4·a·x + b) =20·a + b
x---> 2-
Quindi:
{8·a + 2·b =0
{20·a + b = 1
Risolvi ed ottieni:
[a = 1/16 ∧ b = - 1/4]
Da cui la funzione di sopra.
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Genius II
Il limite sinistro ed il limite destro devono essere uguali.
Le espressioni analitiche assegnate sono composte di funzioni elementari
e quindi sono continue negli intervalli indicati, per cui
4a * 4 + 2b - 8a = ln 1 = 0
da cui 8a + 2b = 0
b = - 4a
Inoltre a(3x^2 +4x) + b = 1/(x-1) per x = 2
a(12+8) + b = 1
b = 1 - 20a
-4a = 1 - 20a
16 a = 1
a = 1/16
b = -4/16 = -1/4
Verifica grafica
https://www.desmos.com/calculator/k7ob7ptr62
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Livello 6
