[Risolto] Geometria

angolo α = 60°

angolo β = 45°

angolo Θ = (180-(60+45) = 75°

angolo γ = (180-(90+β) = 45°

per il teorema dei seni all'angolo maggiore corrisponde il lato opposto maggiore, pertanto ;

AB = 15 (5√9)

BC = 5√6

CH = BH = 5√6 / √2 = 5√3

area ABC = A = AB*CH/2

A = 15*5√3 /2 = 75*√3 /2 =  37,50√3 

 

 

verifica con Erone

perimetro 2p = 5√3+5√6+15 = 5(√3+√6+3) = 35,908 

semiperimetro p = 2p/2 = 17,954

5√3 = 8,660

5√6 = 12,247

area A  = √p(p-a)(p-b)(p-c) = √17,954*(17,954-8,66)*(17,954-12,247)*(17,954-15) = 53,038

La verifica non torna, pertanto qualcosa non va nei dati assegnati

 

Cara @AnnaVianello,
mi duole dirti che non posso ottemperare al tuo comando "vanno utilizzate" perché quando ho studiato Geometria io (e nemmeno in quell'unico anno in cui l'ho insegnata) non si usavano "le formule" precotte come i sughi in barattolo, che quindi io ignoro: si ragionava sul testo del problema, se ne ricavava un disegno nominandone ciascun elemento, poi nei termini dei nomi assegnati si scrivevano le relazioni fra gli elementi e le formule risolutive venivano fuori dalla manipolazione di quelle relazioni, cotte lì per lì come le linguine alla carbonara.
Però posso mostrarti come applicare la mia procedura al tuo problema: se non ti sta bene, smetti di leggere.
Ah, la prossima volta trascrivi tu il problema su tastiera: la dattilografia spetta a chi chiede.
Sui caratteri "α β γ √" puoi fare Copia/Incolla, mentre il carattere "°" lo trovi su tastiera come maiuscolo di "à", sulla destra.
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Si chiede di calcolare l'area S(ABC) del triangolo di vertici {A, B, C} coi corrispondenti angoli interni {α, β, γ} e i lati opposti {a, b, c} usando i seguenti dati
* p = a + b + c = 5*√3 + 5*√6 + 15 = 5*(1 + √2 + √3)*√3
* α = 60°
* β = 45°
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Disegno
Situo AB in orizzontale, A a sinistra, B a destra, e C al di sopra; marco H il piede dell'altezza da C su AB; nomino h = |CH| la misura di tale altezza.
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Relazioni
Il triangolo AHC, rettangolo in H, è metà del triangolo equilatero di lato b = |AC|, altezza h = |CH| = (√3/2)*b e semilato b/2 = |AH|.
Il triangolo HBC, rettangolo in H, è metà del quadrato di lato h = |CH| = |HB| = (√3/2)*b e diagonale a = |BC| = h*√2 = √(3/2)*b.
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Manipolazione
* c = |AB| = |AH| + |HB| = b/2 + (√3/2)*b = (1 + √3)*b/2
* p = a + b + c = √(3/2)*b + b + (1 + √3)*b/2 = 5*(1 + √2 + √3)*√3 ≡
≡ b = 10
da cui
* a = 10*√(3/2)
* c = 5*(1 + √3)
* h = 5*√3
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Formula risolutiva
* S(ABC) = |AB|*|CH|/2 = c*h/2 = 25*(3 + √3)/2 ~= 59.150635
Vedi il paragrafo "Properties: area" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle+edge+lengths+5*%281--%E2%88%9A3%29%2C10*%E2%88%9A%283%2F2%29%2C10

 

L'altezza CH divide il triangolo dato in due triangoli:

1)rettangolo isoscele (a destra) : equivalente alla metà di un quadrato 

2)triangolo rettangolo avente angoli di 30 e 60 gradi (metà di un triangolo equilatero. Il cateto opposto all'angolo di 30 gradi è metà dell'ipotenusa e il cateto maggiore, opposto all'angolo di 60 gradi è uguale al cateto minore per radice 3)

 

Senza trigonometria ed Erone 😏