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[Risolto] Geometria

  

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Problema in cui vanno utilizzate le formule dei triangoli con angoli 45, 45 e 60,30. Solo che vanno unite perché il triangolo è formato da un angolo di 45 un di 60 e uno da 75(45+30)

67C7FFA8 5F45 4124 A858 0E3F244E8250

 

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angolo α = 60°

angolo β = 45°

angolo Θ = (180-(60+45) = 75°

angolo γ = (180-(90+β) = 45°

per il teorema dei seni all'angolo maggiore corrisponde il lato opposto maggiore, pertanto ;

AB = 15 (5√9)

BC = 5√6

CH = BH = 5√6 / √2 = 5√3

area ABC = A = AB*CH/2

A = 15*5√3 /2 = 75*√3 /2 =  37,50√3 

 

 

verifica con Erone

perimetro 2p = 5√3+5√6+15 = 5(√3+√6+3) = 35,908 

semiperimetro p = 2p/2 = 17,954

5√3 = 8,660

5√6 = 12,247

area A  = √p(p-a)(p-b)(p-c) = √17,954*(17,954-8,66)*(17,954-12,247)*(17,954-15) = 53,038

La verifica non torna, pertanto qualcosa non va nei dati assegnati

 

@remanzini_rinaldo

Ti fornisce il perimetro e la somma di tre addendi. Ma non vuol dire che i tre addendi siano i lati....



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Cara @AnnaVianello,
mi duole dirti che non posso ottemperare al tuo comando "vanno utilizzate" perché quando ho studiato Geometria io (e nemmeno in quell'unico anno in cui l'ho insegnata) non si usavano "le formule" precotte come i sughi in barattolo, che quindi io ignoro: si ragionava sul testo del problema, se ne ricavava un disegno nominandone ciascun elemento, poi nei termini dei nomi assegnati si scrivevano le relazioni fra gli elementi e le formule risolutive venivano fuori dalla manipolazione di quelle relazioni, cotte lì per lì come le linguine alla carbonara.
Però posso mostrarti come applicare la mia procedura al tuo problema: se non ti sta bene, smetti di leggere.
Ah, la prossima volta trascrivi tu il problema su tastiera: la dattilografia spetta a chi chiede.
Sui caratteri "α β γ √" puoi fare Copia/Incolla, mentre il carattere "°" lo trovi su tastiera come maiuscolo di "à", sulla destra.
------------------------------
Si chiede di calcolare l'area S(ABC) del triangolo di vertici {A, B, C} coi corrispondenti angoli interni {α, β, γ} e i lati opposti {a, b, c} usando i seguenti dati
* p = a + b + c = 5*√3 + 5*√6 + 15 = 5*(1 + √2 + √3)*√3
* α = 60°
* β = 45°
---------------
Disegno
Situo AB in orizzontale, A a sinistra, B a destra, e C al di sopra; marco H il piede dell'altezza da C su AB; nomino h = |CH| la misura di tale altezza.
---------------
Relazioni
Il triangolo AHC, rettangolo in H, è metà del triangolo equilatero di lato b = |AC|, altezza h = |CH| = (√3/2)*b e semilato b/2 = |AH|.
Il triangolo HBC, rettangolo in H, è metà del quadrato di lato h = |CH| = |HB| = (√3/2)*b e diagonale a = |BC| = h*√2 = √(3/2)*b.
---------------
Manipolazione
* c = |AB| = |AH| + |HB| = b/2 + (√3/2)*b = (1 + √3)*b/2
* p = a + b + c = √(3/2)*b + b + (1 + √3)*b/2 = 5*(1 + √2 + √3)*√3 ≡
≡ b = 10
da cui
* a = 10*√(3/2)
* c = 5*(1 + √3)
* h = 5*√3
---------------
Formula risolutiva
* S(ABC) = |AB|*|CH|/2 = c*h/2 = 25*(3 + √3)/2 ~= 59.150635
Vedi il paragrafo "Properties: area" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle+edge+lengths+5*%281--%E2%88%9A3%29%2C10*%E2%88%9A%283%2F2%29%2C10

 

@exprof ...mi sa che qualcosa non va nei dati assegnati (la verifica con Erone non torna)

@Remanzini_Rinaldo
Arrivo a verificare dopo ben una settimana; non ti ringraziai per l'allarme, lo faccio ora.
Gli angoli interni tornano con i dati: (45, 60, 75)°, mi risparmio la dattilografia.
Ma il tuo allarme era su Erone e qui la dattilografia si spreca.
Per a = 10*√(3/2), b = 10, c = 5*(1 + √3), si ha
* (4*S)^2 = (a + b + c)*(- a + b + c)*(a - b + c)*(a + b - c) =
= (10*√(3/2) + 10 + 5*(1 + √3))*(- 10*√(3/2) + 10 + 5*(1 + √3))*(10*√(3/2) - 10 + 5*(1 + √3))*(10*√(3/2) + 10 - 5*(1 + √3)) =
= 5*(3 + √3 + √6)*5*(3 + √3 - √6)*5*(- 1 + √3 + √6)*5*(1 - √3 + √6) =
= 625*(3 + √3 + √6)*(3 + √3 - √6)*(- 1 + √3 + √6)*(1 - √3 + √6) =
= 625*6*(1 + √3)*2*(1 + √3) =
= 625*6*2*(1 + √3)^2 =
= 7500*2*(2 + √3) ~= 55980.76
Hai ragione: è allarmante che WolframAlpha calcoli cazzi per lampioni!
Inoltre io avevo anche scritto la sullenne minchiata (© Camilleri) di fare il semiprodotto dei cateti di un triangolo non rettangolo.
Boh, ancora grazie.

@exprof

Era corretta la soluzione... Conosci il perimetro ma non è detto che i tre addendi siano i lati. Torna tutto! Ciao. Buona giornata 



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L'altezza CH divide il triangolo dato in due triangoli:

1)rettangolo isoscele (a destra) : equivalente alla metà di un quadrato 

2)triangolo rettangolo avente angoli di 30 e 60 gradi (metà di un triangolo equilatero. Il cateto opposto all'angolo di 30 gradi è metà dell'ipotenusa e il cateto maggiore, opposto all'angolo di 60 gradi è uguale al cateto minore per radice 3)

 

Senza trigonometria ed Erone 😏

@stefanopescetto... Erone è servito a dimostrare che i lati dati non sono congruenti con gli angoli dati  (legere et non intelligere èst  tamquam frixoram habere et nihil frigere)

@remanzini_rinaldo 

👍👍👍

@remanzini_rinaldo 

Erone non serve perché torna tutto 

@stefanopescetto ...se lo dici tu ...

@remanzini_rinaldo 

Sai il perimetro ma i tre addendi non sono i lati. 

Fatti una figura (un pó più bella della mia) e ragiona con 30 45 60.

Buona giornata 

@remanzini_rinaldo 

IMG 20230902 085954

Ovviamente le regole sono uguali per tutti 

"legere et non intelligere èst  tamquam frixoram habere et nihil frigere"



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