[Risolto] Trigonometria - Luca vuole stimare l'altezza CD di un faro

IMPOSTAZIONE
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A) Di che cosa si tratta.
Il "disegno che l'esercizio propone" mostra, giustapposti per il lato BC, due triangoli: nel piano orizzontale ABC, di cui sono dati un lato e i due angoli adiacenti; nel piano verticale BCD, rettangolo in C, di cui è dato l'angolo acuto in B ed è richiesto il lato CD.
Sono anche richiesti due angoli buffi.
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B) Nominare le misure, date o no che siano.
* x = |CD|; a = |BC|; b = |AC|; c = |AB| = 100 m; c' = |BD|;
* α = BAC = 108°; β = ABC = 47°; β' = CBD = 32°; γ = ACB; δ = BDC
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C1) Come risolvere BCD.
Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è il prodotto della tangente dell'angolo ad esso opposto con l'altro cateto.
* x = a*tg(β')
Gli altri elementi non sono rilevanti per questo problema.
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C2) Come risolvere ABC.
Calcolare l'angolo mancante
* γ = 180° − (α + β)
Applicare il teorema dei seni per calcolare i lati mancanti
* a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)
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RISOLUZIONE
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A) I quattro dati sono forniti con valori esatti, in metri e gradi sessagesimali.
Invece le quattro funzioni d'arco necessarie non hanno valori razionali, quindi esatti.
Decido ARBITRARIAMENTE di approssimarle a tre sole cifre significative.
* tg(β') = tg(32°) ~= 0.624869 ~= 0.625
* sin(α) = sin(108°) = √((5 + √5)/8) ~= 0.951
* sin(β) = sin(47°) ~= 0.731
* sin(γ) = sin((180 − (108 + 47))°) = sin(25°) ~= 0.4226 ~= 0.423
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B) Risolvo ABC
* a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) ≡
≡ a/sin(108°) = b/sin(47°) = 100/sin(25°) ≡
≡ (a ~= 225.039 ~= 225) & (b ~= 173.053 ~= 173)
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C) Calcolo la lunghezza del risultato richiesto
* x = a*tg(β') ~= 225*0.625 = 140.625 m
e confido che i due angoli buffi te li sappia calcolare da te.