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[Risolto] Funzione e punti di discontinuità, esercizio.

  

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Salve a tutti.

Ho svolto un esercizio ma ho alcuni dubbi.

y= (ln(1-x))/x.

L'esercizio mi chiede di cercare i punti di discontinuità della funzione.

Sono partita dal dominio. Ho ottenuto D: x<0 V 0<x<1.

Per cui, per me, l'unico punto di eventuale discontinuità è x=0, dato che la funzione dopo 1 non è definita.

I due limiti, destro e sinistro, della funzione per x che tende a 0 sono uguali a -1.

Per cui x=0 potrebbe essere solo un punto di discontinuità di terza specie. Ho cercato poi di calcolare f(0) per capire se effettivamente è un punto di discontinuità o meno ma mi viene una fomra indeterminata ovviamente. Per cui non riesco a capire se lo è o no.

Ci sono altri punti di discontinuità? Io x=1 l'ho escluso a priori.

Vorrei capire se il mio ragionamento è giusto o meno e se x=0 è un punto di discontinuità o no.

Grazie a tutti.

Autore

@cmc grazie mille per il chiarimento.

Quindi x=0 è una discontinuità di terza specie?

Mi sono affidata alla definizione in foto, per questo ho tentato di calcolare f(0), invano.

Credevo che la condizione di avere i due limiti, destro e sinistro uguali, non bastasse per definire x=0 punto di discontinuità.

B0446A67 791F 42A8 8604 3B9C2705ECD5

  

Si tratta di una discontinuità di 3° specie ovvero di una discontinuità eliminabile.

Quest'ultimo modo di dire enfatizza il fatto che se poni i limiti destro e sinistro eguali al valore della funzione allora la nuova funzione è continua.

Esempio.

f(x) = sinx/x

Dominio = ℝ \ {0}

La funzione risulta continua laddove definita.

Specie di discontinuità.

  • lim(x→0⁻) sinx/x = 1
  • lim(x→0⁺) sinx/x = 1

Si tratta quindi di una discontinuità di 3° specie o eliminabile. Infatti se consideriamo la funzione f*(x), parente stretta della precedente, così definita

f*(x) = {sinx/x per x≠0

............{ 1 per x= 0  

risulta evidente che f*(x) è continua in tutto ℝ.

La funzione f*(x) è detta estensione continua della f(x), e per questa ragione la discontinuità si dice eliminabile.

 

"Credevo che la condizione di avere i due limiti, destro e sinistro uguali, non bastasse per definire x=0 punto di discontinuità."

Infatti. 

  • Il dominio ci dice che x=0 è un punto di discontinuità.

  • I due limiti laterali eguali confermano che si tratta di una discontinuità della terza specie ovvero eliminabile.
Etichette discussione
1 Risposta
3

1.

Tutto bene sino al punto "Per cui x=0 potrebbe essere solo un punto di discontinuità di terza specie." incluso.

 

2.

"Ho cercato poi di calcolare f(0) per capire se effettivamente è un punto di discontinuità o meno ma mi viene una fomra indeterminata ovviamente. Per cui non riesco a capire se lo è o no."

Iniziamo dal

Al Dominio della funzione

Dom = (-oo,0) U (0,1)

aggiungiamo l'osservazione che la funzione è continua in tutti i punti dove è definita. La funzione è continua essendo composizione e prodotto di funzioni elementari continue.

Ora possiamo parlare di punti di discontinuità. In particolare:

i) f(0) è una scrittura che non ha senso visto che la funzione non è definita in quel punto. (NB. non è una forma indeterminata)

ii) Se con f(0) intendi lim(x→0), quest'ultimo qualifica a quale specie appartiene non se è o non è una discontinuità.   

iii) la funzione è continua in tutti i punti dove è definita, così diventa evidente che l'unico punto di discontinuità non può che essere x=0.

 

3.

"Ci sono altri punti di discontinuità? Io x=1 l'ho escluso a priori." e hai fatto bene. I punti di discontinuità sono punti all'interno del dominio; x=1 fa parte dell'intervallo [1,+oo); intervallo che esterno al dominio.

 






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