[Risolto] Esercizio valori di una funzione

La funzione razionale fratta
* y = f(x) = (a*x^2 + b*x + c)/x^2 = a + b/x + c/x^2
è indefinita nell'origine e quindi ha l'asse y come asintoto verticale
ha limite "a" per x tendente a infinito e quindi ha y = a come asintoto orizzontale.
Quindi
* a = 2
* y = f(x) = 2 + b/x + c/x^2
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Per avere tangente nel punto P(1, - 1) da P ci deve passare, quindi
* - 1 = 2 + b/1 + c/1^2 ≡ c = - (b + 3)
da cui
* y = f(x) = 2 + b/x - (b + 3)/x^2
* dy/dx = f'(x) = (b*(2 - x) + 6)/x^3
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Le rette per P(1, - 1) che formano triangolo con gli assi hanno forma
* t(k) ≡ y = k*(x - 1) - 1
per ogni pendenza k reale non nulla.
Ogni t(k) intercetta gli assi in (0, - (k + 1)) e ((k + 1)/k, 0) formando un triangolo di area
* A(k) = |- (k + 1)|*|(k + 1)/k|/2 = (k + 1)^2/(2*|k|)
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La condizione sull'area conduce a quattro diverse pendenze
* A(k) = (k + 1)^2/(2*|k|) = 9/4 ≡
≡ (k = (- 13 - 3*√17)/4) oppure (k = (- 13 + 3*√17)/4) oppure (k = 1/2) oppure (k = 2)
da eguagliare a
* f'(1) = (b*(2 - 1) + 6)/1^3 = b + 6
per ottenere quattro diverse f(x)
Da
* b + 6 = k
si ha
* b = k - 6
* c = 3 - k
* y = f(x) = 2 + (k - 6)/x + (3 - k)/x^2
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CONCLUSIONE
Il risultato atteso "[a=2 b=-4 c=1]" appare assai discutibile e, oserei dire, gravemente errato per incompletezza.

@roby0

Ciao.

f(x) ha per asintoto orizzontale la retta y=2 se il valore di a è pari ad a=2 determinabile dal rapporto dei coefficienti di x^2 che compaiono al numeratore ed al denominatore della frazione algebrica. Quindi y=(2x^2+bx+c)/x^2.

Poi la f(x) passa per P(1,-1):-1 = (2·1^2 + b·1 + c)/1^2----->-1 = b + c + 2---->b = -c - 3

Quindi la funzione f(x) = (2·x^2 - x·(c + 3) + c)/x^2 è riportata al calcolo di c.

Adesso devo sfruttare l'ultima condizione: 

"nel punto P(1;-1) ha per tangente una retta che forma con gli assi cartesiani un triangolo la cui area è 9/4."

Ora sono stanco. Lascio a qualche anima pia di risolvere il problema del calcolo di c.

La figura relativa è riportata sotto:

P