[Risolto] Funzione

f'x = 2x/(y+1)

f'y = [6y(y+1) - x^2 - 3y^2 - 9]/(y + 1)^2 =

= (3y^2 - x^2 + 6y - 9)/(y + 1)^2

y + 1 =/= 0

x = 0

6y^2 + 6y - 0^2 - 3y^2 - 9 = 0

3y^2 + 6y - 9 = 0

y^2 + 2y - 3 = 0

y = 1 V y = -3

A = (0,1)
B = (0,-3)

che devono essere classificati usando le derivate seconde

 

La derivata direzionale é

a*f'x(1,1) + b*f'y(1,1) =

= 3/5 * 2/(1+1) + 4/5 * (1+3+9)/(1+1) = 3/5 + 4/5 * 13/20 = 3/5 + 13/25 = 28/25 = 1.12

piano tangente in (0,0,9)

z - 9 = f'x(0,0) x + f'y(0,0) y

z - 9 = 0 * x - 9 y

9y + z - 9 = 0

 

Voglio aggiungere una nota sull'integrale. 

Essendo il dominio R descrivibile attraverso 

{ 0 <= x <= 1

{ 1 - x <= y <= 2 - 2x 

 

é chiaro che SS_[R]  f(x,y) dx dy =   S_[0,1] (S_[1-x, 2-2x]   (x^2 + 3y^2 + 9)/(y + 1) dy ) dx 

che non é molto difficile da calcolare essendo funzioni razionali.

L'esercizio è lungo ti svolgo quindi il primo punto e poi, se ho tempo e voglia vedrò di svolgertigli altri punti rimasti.

Intanto vediamo la soluzione tramite WOLFRAMALPHA:

z = (x^2 + 3·y^2 + 9)/(y + 1)

Applico le C.N. per la ricerca dei punti critici:

{Z'x=0

{Z'y=0

che sono:

{2·x/(y + 1) = 0

{(3·(y^2 + 2·y - 3) - x^2)/(y + 1)^2 = 0

Risolvo ed ottengo due punti critici:

[x = 0 ∧ y = 1, x = 0 ∧ y = -3]

Tramite l'Hessiano H(x,y) utilizzo le C.S. per determinare la natura di tali punti:

|Z''xx............Z''xy|

|Z''yx............Z''yy|

Per tali derivate seconde si ottiene:

Z''xx=2/(y + 1)

Z''yy=2·(x^2 + 12)/(y + 1)^3

Z''xy=Z''yx=- 2·x/(y + 1)^2

Eseguo quindi il calcolo di tale determinante ed ottengo:

Η(x,y) = 48/(y + 1)^4

quindi per [0, 1] ottengo:

H(0,1)=48/(1 + 1)^4------> Η =3 >0 ed Z''xx(0,1)=2/(1 + 1)=1>0

Quindi si ha un minimo relativo che vale:

z = (0^2 + 3·1^2 + 9)/(1 + 1)----> z = 6

per l'altro si ha un massimo relativo:

z = (0^2 + 3·(-3)^2 + 9)/(-3 + 1)----> z = -18

 

piano tangente: