[Risolto] Analisi 2 esercitazione n.5

@lukegemini

Ciao di nuovo.

z = x·y·e^(- (x^2 + y^2)/2)

Applico le C.N.:

{Z'x=0

{Z'y=0

che si traducono nel sistema:

{y·e^(- x^2/2 - y^2/2) - x^2·y·e^(- x^2/2 - y^2/2) = 0

{x·e^(- x^2/2 - y^2/2)·(1 - y^2) = 0

Lo risolvo ed ottengo 5 punti critici:

[x = 0 ∧ y = 0, x = 1 ∧ y = 1, x = 1 ∧ y = -1, x = -1 ∧ y = 1, x = -1 ∧ y = -1]

In corrispondenza di ciascuno di essi valuto l'Hessiano H(x,y):

|Z''xx..........Z''xy|

|Z''yx..........Z''yy|

quindi considero le C.S. per stabilire la natura del punto critico trovato

Z''xx=x·y·e^(- x^2/2 - y^2/2)·(x^2 - 1) - 2·x·y·e^(- x^2/2 - y^2/2)

Z''yy=x·y·e^(- x^2/2 - y^2/2)·(y^2 - 3)

Z''xy=Z''yx=e^(- x^2/2 - y^2/2)·(x^2·(y^2 - 1) - y^2 + 1)

Ottengo:

H(0,0)= -1<0-----------> (0,0) è un punto di sella

|0........1|

|1........0|

H(1,1)= 4e^(-2)>0, Z''xx=-2e^(-1)<0

|-2e^(-1).........0|

|0.........-2e^(-1)|

Quindi (1,1) è un punto di max relativo

H(1,-1)=H(-1,1) =4e^(-2) >0--------->(1,-1), (-1,1) punti di minimo relativo

|2e^(-1)........0|

|0........2e^(-1)|

essendo Z''xx>0

H(-1,-1)= 4 e^(-2),    Z''xx=-2e^(-1)<0 

|-2e^(-1)..........0|

|0..........-2e^(-1)|

Quindi, (-1,-1) punto di max relativo (come (1,1))

Bene, bastano solo i calcoli!
La procedura è tutta nelle tre righe del "Si ricordi" su cui ho un paio di lievi obiezioni. Io avrei scritto "Si rammenti" perché serve la memoria dei pensieri (nella mente) e non dei sentimenti (nel cuore); poi, mamma mia, com'è mutata la simbologia dagli anni '50 a oggi: allora si usava la maiuscola (H(x, y), l'Hessiana) per la matrice delle derivate seconde e la minuscola (h(x, y), l'hessiano) per il suo determinante. Usando la maiuscola per il determinante, l'acca della matrice come si scrive? In gotico?
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BASTA COSI': I CALCOLI!
* f(x, y) = x*y/e^((x^2 + y^2)/2)
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1) gradiente
http://www.wolframalpha.com/input/?i=nabla%5Bx*y%2Fe%5E%28%28x%5E2%2By%5E2%29%2F2%29%5D
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2) punti critici
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28x%5E2-1%29y%28-e%5E%28-x%5E2%2F2-y%5E2%2F2%29%29%2Cx%28y%5E2-1%29%28-e%5E%28-x%5E2%2F2-y%5E2%2F2%29%29%29%3D%280%2C0%29
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3) Hessiana
http://www.wolframalpha.com/input/?i=nabla%5B%28x%5E2-1%29y%28-e%5E%28-x%5E2%2F2-y%5E2%2F2%29%29%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=nabla%5Bx%28y%5E2-1%29%28-e%5E%28-x%5E2%2F2-y%5E2%2F2%29%29%5D
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4) hessiano
http://www.wolframalpha.com/input/?i=det%5B%7B%7B%28x%5E2-1%29y%2Fe%5E%28%28x%5E2%2By%5E2%29%2F2%29%2Cx%28y%5E2-1%29%2Fe%5E%28%28x%5E2%2By%5E2%29%2F2%29%7D%2C%7B%28x%5E2-1%29%28y%5E2-1%29%2Fe%5E%28%28x%5E2%2By%5E2%29%2F2%29%2Cxy%28y%5E2-3%29%2Fe%5E%28%28x%5E2%2By%5E2%29%2F2%29%7D%7D%5D
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5) valutazioni
Nel formato {x, y, h(x, y), fxx(x, y)} su tutt'e nove i vertici di griglia; devi scartare tu le quattro che non c'entrano.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5B%7Bx%2Cy%2Cx%28x%5E2-1%29%28y%5E2%2B1%29%28-e%5E%28-x%5E2-y%5E2%29%29%2C%28x%5E2-1%29y%2Fe%5E%28%28x%5E2%2By%5E2%29%2F2%29%7D%2C%7Bx%2C%7B-1%2C0%2C1%7D%7D%2C%7By%2C%7B-1%2C0%2C1%7D%7D%5D
o, se li vuoi tutt'in fila,
http://www.wolframalpha.com/input/?i=flatten%5Btable%5B%7Bx%2Cy%2Cx%28x%5E2-1%29%28y%5E2%2B1%29%28-e%5E%28-x%5E2-y%5E2%29%29%2C%28x%5E2-1%29y%2Fe%5E%28%28x%5E2%2By%5E2%29%2F2%29%7D%2C%7Bx%2C%7B-1%2C0%2C1%7D%7D%2C%7By%2C%7B-1%2C0%2C1%7D%7D%5D%2C1%5D