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[Risolto] Forze vive

  

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Un punto materiale di massa $m$ è inizialmente mantenuto fermo sulla sommità di un piano inclinato scabro, di altezza $h$. L'angolo di inclinazione del piano è $\alpha\left(0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}\right)$ ed i coefficienti di attrito radente statico e dinamico sono, rispettivamente, $\mu_{ S }$ e $\mu_D$. Nell'ipotesi che il punto materiale scivoli lungo il piano, una volta lasciato libero di muoversi, determina la velocità da esso raggiunta dopo aver percorso l'intera lunghezza del piano inclinato con considerazioni cinematiche e dinamiche ed anche applicando il teorema delle forze vive.

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1) cinematica 

Le forze agenti sul corpo nella direzione del moto sono la componente // al piano inclinato della forza peso e la forza di attrito. I due vettori hanno stessa direzione ma verso opposto. 

 

F_risultante = Fp// - F_att = mg*sin (alfa) - u*m*g*cos(alfa) 

 

Dal secondo principio della Dinamica risulta:

 

a= F_risultante /m = g*sin(alfa) - u*g* cos (alfa) 

 

Dalla legge oraria del moto uniformemente accelerato con velocità iniziale nulla si ricava:

 

V_finale = radice (2*a*S) = radice {2*g* h * [1 - u*cotg (alfa)]} 

 

2)

Considerazioni energetiche 

Scelgo come livello zero di energia potenziale gravitazionale la base del piano inclinato. 

Il lavoro compiuto dalle forze non conservative è pari alla variazione di energia meccanica del sistema. 

Il corpo possiede inizialmente energia potenziale gravitazionale che si trasforma in parte in energia cinetica:

 

mgh = (1/2)*m*V_finale² + u*m*g*cos (a) * h/sin(alfa) 

 

V_finale= radice {2*g*h*[ 1 - u*cotg (alfa)]} 

 

 

 

 



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