Formula di Duplicazione equazione goniometrica

2 sin x/2 * cos x/2 * sin x/2 - cos x/2 = 0

cos x/2 * (2 sin^2(x/2) - 1) = 0

cos x/2 = 0 => x/2 = pi/2 + k pi =>   x = pi + 2 k pi 

 

sin^2(x/2) = 1/2

sin (x/2) = +- rad(2)/2 

x/2 = +- pi/4 + k pi 

x = +- pi/2 + 2 k pi 

x = pi/2 + k pi 

Ciao 

Ciao.

Nell'equazione proposta:

SIN(x)·SIN(x/2) = COS(x/2)

poniamo: x/2 = α e quindi: 2·α = x

Quindi diventa: SIN(α)·SIN(2·α) = COS(α)

Quindi: SIN(α)·2·SIN(α)·COS(α) = COS(α)

Arrivati a questo punto, facciamo riferimento alla circonferenza goniometrica:

{x = COS(α)
{y = SIN(α)

e risolviamo il sistema:

{y·2·y·x = x

{x^2 + y^2 = 1

Cioè: 

{2·x·y^2 = x

{x^2 + y^2 = 1

Dalla 1^ abbiamo 3 possibilità:  x = 0 ∨ y = - √2/2 ∨ y = √2/2

Quindi, tenendo conto della 2^ si hanno le seguenti soluzioni:

[x = 0 ∧ y = 1, x = 0 ∧ y = -1, x = √2/2 ∧ y = √2/2,

x = √2/2 ∧ y = - √2/2, x = - √2/2 ∧ y = √2/2,

x = - √2/2 ∧ y = - √2/2]

Le prime due indicano come soluzione generica:

α = pi/2 + k·pi------> x/2 = pi/2 + k·pi-------> x = 2·pi·k + pi

Le altre quattro indicano come soluzione generica:

α = pi/4 + k·pi/2------> x/2=pi/4+kpi/2------> x=pi/2+kpi