[Risolto] Identità goniometria

Questa é abbastanza laboriosa, non mi stupisce che sia risultata difficile.

Ma adesso ho un pò di tempo, per cui posso prospettare una strategia di soluzione.

Partiamo dall'espressione di sinistra e sviluppiamo

( cos (3/2 pi - a) )^3 = (cos 3/2 pi cos a + sin 3/2 pi sin a)^3 =

= (0 - sin a)^3 = - sin^3 (a)

 

e si ha quindi

[sin (3a) + sin^3(a)]/(tg a/2 - tg a)

Ora

sin(3a) = sin (2a + a) = sin 2a cos a + cos 2a sin a =

= 2 sin a cos^2(a) + (cos^2(a) - sin^2(a)) sin a =

= 3 sin a cos^2(a) - sin^3 (a)

e sostituendo

S = 3 cos^2(a) sin a/( tg a/2 - tg a ) =

= 3 cos^2(a) * sin a/ cos a * cos a/(tg a/2 - tg a) =

= 3 cos^3 (a) * tg a/(tg a/2 - tg a)

e con le formule parametriche

3 cos^3 (a)  * 2t/(1-t^2)/(t - 2t/(1 - t^2)) =

= 3 cos^3(a) * 2t/(t - t^3 - 2t) =

= - 3 cos^3(a) * 2/(1 + t^2) 

 

Ora poiché   cos a = (1 - t^2)/(1 + t^2)

1 + cos a = (1 + t^2 + 1 - t^2)/(1 + t^2) = 2/(1 + t^2)

per cui sostituendo  2/(1 + t^2) con 1 + cos a

S = -3 cos^3(a) * (1 + cos a) = D