[Risolto] Problema con equazioni di 2 grado

La figura si riferisce ad r=1

AB=2r

BC=AD=1/2r

CD=7/4r

Verifica:

2·r + 2·(1/2·r) + 7/4·r = 19·r/4

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ΑΒ = 2·r

ΒC = y

y^2 = 2·r·(2·r - x)/2 : 1° teorema di Euclide

y^2 = r·(2·r - x) = 2·r^2 - r·x

quindi, con y>0: y = √(2·r^2 - r·x)

Da cui:

19/4·r = 2·r + 2·y + x

2·y = 19/4·r - 2·r - x---> y = (11·r - 4·x)/8

√(2·r^2 - r·x) = (11·r - 4·x)/8

r·(2·r - x) = (4·x - 11·r)^2/64

Risolvo equazione ed ottengo:

x = 7·r/4 ∨ x = - r/4

La negativa la scarto

y = (11·r - 4·(7·r/4))/8---> y = r/2

Il perimetro è r * 19/4   ???

La base maggiore è 2r, corrisponde al diametro;

i lati obliqui sono congruenti;

ADB = triangolo rettangolo;

primo teorema di Euclide: il cateto AD è medio proporzionale tra la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa

AB : AD = AD : AH ;

AD = lato obliquo del trapezio;

AD^2 = AB * AH ;

(AH = KB); 

AB = 2r ;

 

 

AH = (AB - DC) / 2;

AD^2 = AB * AH ;

x = base minore DC;

AH = (AB - x) / 2;

AH = (2r - x) / 2

AD^2 = 2r * (2r - x)/ 2 = (4 r^2 - 2rx) /2 = 2 r^2 - rx

AD = radicequadrata(2 r^2 - rx); LATO OBLIQUO;

 

Perimetro = AB + DC + 2 AD = 19 r / 4;

2r + x + 2 * [ radicequadrata(2 r^2 - rx)] = 19r / 4;

2 * [ radicequadrata(2 r^2 - rx)] = 19 r / 4 - 2r  - x;

 [ radicequadrata(2 r^2 - rx)] = 19 r / 8 -  8r/8 - x/2;

[ radicequadrata(2 r^2 - rx)] = 11 r / 8 - x/2; eleviamo al quadrato;

2 r^2 - rx = 121 r^2/64 - x^2 /4 - 11rx/8 ;

2 r^2 - 121r^2 / 64 - x^2 /4 + 11 rx /8 - rx = 0

(128 - 121)r^2 / 64 - x^2 /4 + 11rx/8 - 8 rx / 8 = 0

7 r^2/64 - x^2/4 + 3 rx / 8 = 0

7 r^2 / 16 - x^2 + 3 rx / 2 = 0

7 r^2 - 16 x^2 + 24 rx = 0

16 x^2 - 24 rx - 7 r^2 = 0;

x = [+ 12 r +- radice quadrata(144r^2 + 112 r^2)]/16;

x = [12 r +- radice(256r^2)] / 16;

x = [12r + 16r]/ 16; soluzione positiva;

x = 28 r/16 = 7r/4; base minore;

AD = radicequadrata(2 r^2 - rx);

AD = radice(2 r^2 - 7 r^2/4) = radice[(8 r^2 - 7r^2)]/4;

AD = radice(r^2/4) = r/2; lato obliquo.

AB = 2r;

DC = 7/4 r;

AD = r/2.

Ciao @eli-sokoli