Disegna le parabole di equazioni
$$
y=x^2-7 x+10 \text { e } y=-x^2+8 x-12
$$
Conduci una retta parallela all'asse $y$ nella zona $S$ racchiusa dalle due parabole in modo che la corda intercettata su di essa dalle parabole abbia lunghezza massima. Calcola poi l'area di $S$ e delle due parti in cui $S$ resta divisa dalla retta trovata.
$$
\left[x=\frac{15}{4} ; S=\frac{343}{24} ; S_1=S_2=\frac{343}{48}\right]
$$
67
punti
Livello 1
{y = x^2 - 7·x + 10
{y = - x^2 + 8·x - 12
Risolvo ed ottengo: [ x = 2 ∧ y = 0 , x = 11/2 ∧ y = 7/4 ]
Determino la corda massima data dalla funzione:
- x^2 + 8·x - 12 - (x^2 - 7·x + 10) = - 2·x^2 + 15·x - 22
f = - 2·x^2 + 15·x - 22 ove 2 ≤ x ≤ 11/2
Il cui massimo si ha per: x = - 15/(2·(-2))---> x = 15/4
f max = - 2·(15/4)^2 + 15·(15/4) - 22 = 49/8
Calcolo quindi gli integrali:
∫(- 2·x^2 + 15·x - 22)dx = - 2·x^3/3 + 15·x^2/2 - 22·x
valutato tra x = 2 ed x = 11/2:
- 2·(11/2)^3/3 + 15·(11/2)^2/2 - 22·(11/2) = - 121/24
- 2·2^3/3 + 15·2^2/2 - 22·2 = - 58/3
quindi S = - 121/24 - (- 58/3) = 343/24
valutato tra x= 2 ed x = 15/4
- 2·(15/4)^3/3 + 15·(15/4)^2/2 - 22·(15/4) = - 195/16
S1=- 195/16 - (- 58/3) = 343/48
che è la metà di quello calcolato in precedenza, quindi:
S2=S1=343/48
78684
punti
Genius II
