a)
Imposto il sistema di riferimento cilindrico $(\varphi, r, z)$ con $\mathbf{u}_z$ diretto come l'asse del cilindro, $\mathbf{u}_r$ uscente dalla superficie laterale del cilindro e $\mathbf{u}_{\varphi}$ che si avvolge in senso antiorario attorno a $\mathbf{u}_z$ (regola della vite).
Come di consueto, all'interno del condensatore sarà $\Delta V = E d$, quindi avremo
$\mathbf{E}(t) = \dfrac{\Delta V(t)}{d} = \dfrac{V_0}{d}e^{-t/\tau}\mathbf{u}_z$
Per la $\text{IV}$ legge di Maxwell, non essendovi corrente di conduzione, tra le armature sarà
$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{J+J_s}) = \mu_0\varepsilon_0 \dfrac{∂\mathbf{E}}{∂t} \qquad (1)$
Considero una circonferenza $\gamma_r$ interna al condensatore e $S$ il cerchio da essa racchiuso $(S := \text{int }\gamma_r)$, con $r<R$: applicando il teorema di Stokes alla $(1)$ otteniamo
$\oint_{\gamma_r}\mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0\varepsilon_0 \iint_{S}\dfrac{∂\mathbf{E}}{∂t} \cdot \mathbf{n}dS = \mu_0\varepsilon_0 \dfrac{∂}{∂t}\Phi_S(\mathbf{E})$
Calcoliamo il flusso e la sua derivata temporale: essendo
$\Phi_S(\mathbf{E}) = \mathbf{E}(t) \mathbf{u}_z \cdot \pi r^2 \mathbf{u}_z = \dfrac{V_0}{d}e^{-t/\tau}\pi r^2$
$\dfrac{∂}{∂t}\Phi_S(\mathbf{E}) = - \dfrac{V_0}{d\tau}e^{-t/\tau}\pi r^2$
quindi, sapendo che il campo magnetico dentro il condensatore sarà del tipo $\mathbf{B} = B(r)\mathbf{u}_{\varphi}$, abbiamo
$B(r) 2\pi r = -\dfrac{\mu_0\varepsilon_0 V_0}{d\tau} e^{-t/\tau}\pi r^2$
$\mathbf{B}(t,r) = -\dfrac{\mu_0 \varepsilon_0V_0}{2d\tau}re^{-t/\tau}\mathbf{u}_{\varphi}$
b)
Per definizione di $\mathbf{S}$ abbiamo:
$\mathbf{S}(t) = \dfrac 1 {\mu_0} |\mathbf{E}(t) \times \mathbf{B}(t)| = -\dfrac{V_0 e^{-t/\tau}\mu_0 \varepsilon_0 V_0 r e^{-t/\tau} }{\mu_0d 2d\tau} \mathbf{u_z} \times \mathbf{u}_{\varphi} = -\dfrac{\varepsilon_0 V_0^2}{2d^2 \tau}e^{-2t/\tau}r \mathbf{u}_r $
entrante radialmente nel condensatore.
c)
Dal teorema di Poyinting
$\nabla \cdot \mathbf{S} = - \dfrac{∂}{∂t}u_{em} - \mathbf{E \cdot J}$
trascurando il termine dissipativo e integrando sul volume del condensatore ad entrambi i membri, dal teorema della divergenza, detta $\Sigma$ la superficie laterale del cilindro e siccome il flusso attraverso le basi è nullo $(\mathbf{u}_z \cdot \mathbf{u}_r = 0)$, abbiamo
$ \Phi_{\Sigma} (\mathbf{S}) = - \dfrac{∂}{∂t} U_{em}$
integrando ora da $t=0$ a $t=\infty$ ($U(\infty) - U(0) = U_{tot}$)
$U_{tot} = -\int_{0}^{\infty} \Phi_{\Sigma}(\mathbf{S}) dt$
Calcolo il flusso del vettore di Poyinting attraverso la superficie laterale del cilindro:
$\Phi_\Sigma(\mathbf{S}) = - \dfrac{\varepsilon_0 V_0^2}{2d^2 \tau} e^{-2t/\tau} R \cdot 2\pi R d = - \dfrac{\varepsilon_0 V_0^2 e^{-2t/\tau} R^2\pi}{\tau d}$
quindi,
$U_{tot} = -\dfrac{\varepsilon_0 V_0^2 \pi R^2}{\tau d} \int_0^{\infty} e^{-2t/\tau} dt = \dfrac 1 4 \varepsilon_0 V_0^2 \pi R^2$ .
Sei anche tu stai preparando Fisica II, ti sono vicino!
