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[Risolto] Fasci di rette

  

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Ciao a tutti, non riesco a risolvere questo esercizio, riuscireste ad aiutarmi? grazie mille in anticipo

Scrivi l'equazione della retta r della figura e considera su r un punto
variabile.

a. Determina il baricentro G del triangolo ABC e scrivi l'equazio-
ne del luogo descritto da G. Calcola le coordinate di C quando
Gha ascissa 3.
b. Determina C nel primo quadrante in modo che AC = VI7 e
trova l'ortocentro H di ABC.
c. Trova C in modo che il triangolo ABC sia isoscele, con base AB,
e determina l'incentro di ABC.

image

 

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@kris 

Sino al punto a) poi se ho tempo e voglia vedrò di risolvere gli altri punti. Intanto figura:

image

[α, 2·α] sono le coordinate di C

[3, 0] sono le coordinate del punto medio di base

Retta per due punti:

(y - 2·α)/(x - α) = (0 - 2·α)/(3 - α)

y = 2·α·x/(α - 3) - 6·α/(α - 3)

ordinata di G: y = 2·α/3

2·α/3 = 2·α·x/(α - 3) - 6·α/(α - 3)-----> x = (α + 6)/3

Coordinate di G: [(α + 6)/3, 2·α/3]

Equazioni parametriche del punto G:

{x = (α + 6)/3

{y = 2·α/3

dalla prima: α = 3·(x - 2)

quindi: y = 2·(3·(x - 2))/3-----> y = 2·x - 4

per x=3----->y=2.

Quindi, in tale ascissa G(3,2) e C(3,6)

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[α, 2·α]

[1, 0]

√((1 - α)^2 + (0 - 2·α)^2) = √17

√(5·α^2 - 2·α + 1) = √17

5·α^2 - 2·α - 16 = 0-----> α = - 8/5 ∨ α = 2

Quindi C del 1° quadrante è: C(2,4)

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Il titolo da dove viene fuori? Devi aver fumato roba forte perché il testo non descrive né implica alcun fascio di rette, né la figura ne mostra.
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a) La figura mostra i punti A(1, 0) e B(5, 0) e la congiungente l'origine al punto (1, 2) di equazione
* r ≡ y = 2*x
e di generico punto cursore C(k, 2*k).
Il baricentro di ABC è
* G((1 + 5 + k)/3, (0 + 0 + 2*k)/3) = ((k + 6)/3, 2*k/3)
e l'equazione del luogo Γ descritto da G si ottiene eliminando il parametro dalle coordinate
* Γ ≡ (x = (k + 6)/3) & (y = 2*k/3) ≡
≡ (k = 3*(x - 2)) & (y = 2*(x - 2))
cioè Γ è la parallela di r con intercetta q = - 4.
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b) Stante il palese errore di battitura "... in modo che AC = VI7 e trova ..." non si può svolgere questo punto.
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c) ABC è isoscele su base AB se e solo se k = (1 + 5)/2 cioè C(3, 6). Perciò le rette dei lati sono
* AB ≡ s0 ≡ y = 0
* AC ≡ s1 ≡ y = 3*x - 3
* BC ≡ s2 ≡ y = 15 - 3*x
L'incentro I, essendo l'unico punto P(x, y) del piano equidistante dalle rette dei lati, dev'essere un P(3, y) sull'altezza-bisettrice-mediana relativa alla base AB.
Le distanze sono
* |Ps0| = |y|
* |Ps1| = |y - 6|/√10
* |Ps2| = |y - 6|/√10
da cui il sistema risolutivo
* |y - 6|/√10 = |y| ≡ y = - (2/3)*(1 ± √10)
e infine
* I(3, (2/3)*(√10 - 1))



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SOS Matematica

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