[Risolto] Esercizio fascio di rette e quadrato inscritto

(k + 1)·x - k·y + k + 3 = 0

Riscrivo:

k·(x - y + 1) + x + 3 = 0

Determino il centro del fascio:

{x + 3 = 0

{x - y + 1 = 0

Risolvo il sistema ed ottengo: [x = -3 ∧ y = -2]

Scrivo la retta per due punti:

[-3, -2] ----> C centro fascio

[1, 6] ---> P ( non può essere A!)

(y + 2)/(x + 3) = (6 + 2)/(1 + 3)

Risolvo ed ottengo: y = 2·x + 4 

(risultato anche da te ottenuto)

Una retta ad essa parallela è:

y = 2·x + k con k>0

[-k/2, 0] è il punto D di figura

[0, k] è il punto E di figura

DE=√((-k/2)^2 + k^2) = √5·k/2

Considero la circonferenza di centro il punto D e di raggio:

r = √5·k/2

(x + k/2)^2 + y^2 = (√5·k/2)^2

quindi sviluppo:

4·x^2 + 4·k·x + k^2 + 4·y^2 = 5·k^2

Quindi metto tale circonferenza a sistema:

{4·x^2 + 4·y^2 + 4·k·x - 4·k^2 = 0

{y = 2·x + 4

procedo per sostituzione:

4·x^2 + 4·(2·x + 4)^2 + 4·k·x - 4·k^2 = 0

20·x^2 + 4·x·(k + 16) - 4·(k^2 - 16) = 0

5·x^2 + x·(k + 16) - k^2 + 16 = 0

Condizione di tangenza:

Δ = 0

(k + 16)^2 - 20·(16 - k^2) = 0

21·k^2 + 32·k - 64 = 0

k = 8/7 ∨ k = - 8/3

Ora vai avanti tu...

 

 

 

INDICARE DUE PUNTI CON LO STESSO NOME COSTITUISCE ERESIA GRAVE.
Nel fascio
* r(k) ≡ (k + 1)*x - k*y + k + 3 = 0
la condizione di passare per P(1, 6) impone il vincolo
* (k + 1)*1 - k*6 + k + 3 = 0
da cui
* k = 1
* r(1) ≡ y = 2*x + 4 ≡ 2*x - y = - 4 ≡ x/(- 2) + y/4 = 1
che ha pendenza m = 2 e intersezioni con gli assi A(- 2, 0) e B(0, 4).
Il triangolo descritto ha "un lato parallelo ad AB", un altro su AB, gli altri due ortogonali ad AB.
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Il fascio delle rette perpendicolari ad AB ha pendenza m' = - 1/m = - 1/2 ed è
* p(q) ≡ y = q - x/2
si nota che
* per ogni q interseca il lato AB in (2*(q - 4)/5, 4*(q + 1)/5)
* per - 1 < q = u < 0, p(u) interseca il lato AO in X(2*u, 0) e il lato AB in H(2*(u - 4)/5, 4*(u + 1)/5)
* per 0 < q = v < 4, p(v) interseca il lato OB in Y(0, v) e il lato AB in K(2*(v - 4)/5, 4*(v + 1)/5)
Il rettangolo XHKY è quadrato se e solo se XH ≅ HK ≅ KY ≅ YX.
Ovviamente, basta che i due lati di un vertice abbiano egual lunghezza L per avere l'area S = L^2 e il perimetro p = 4*L.
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* XH ≅ HK ≅ KY ≅ YX ≡
≡ |XH|^2 = |HK|^2 = |KY|^2 = |YX|^2 ≡
≡ 16*|u + 1|^2/5 = 4*|u - v|^2/5 = |v - 4|^2/5 = 4*u^2 + v^2 = S = L^2 ≡
≡ (u = - 2/7) & (v = 8/7) & (S = 80/49) & (L = 4*√5/7) oppure (u = 2/3) & (- 8/3) & (S = 80/9) & (L = 4*√5/3) ≡
applicando le condizioni restrittive
≡ (u = - 2/7) & (v = 8/7) & (S = 80/49) & (L = 4*√5/7)
da cui
* X(- 4/7, 0), H(- 12/7, 4/7), Y(0, 8/7), K(- 8/7, 12/7), p = 16*√5/7