Esercizio n.23
Sia $X$ la variabile aleatoria continua con cdf:
$$
F_x(x)=\left\{\begin{array}{cl}
0 & x \leq 0 \\
x^2 / 2 & 0<x \leq 1 \\
-x^2 / 2+2 x-k & 1<x \leq 2 \\
1 & x>2
\end{array}\right.
$$
- Calcolare il valore di k e rappresentare graficamente la pdf della variabile aleatoria $X$
- Calcolare la probabilità dei seguenti eventi $A=\{0.5<X<2\}, B=\{X=2\}$ e $C=\{X>2\}$
Ciao a tutti, oggi ho un esame e sto impazzendo cercando di risolvere questo. Potete aiutarmi per favore?
3
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Livello 0
Deve essere Fx(2) = 1
per cui - 4/2 + 4 - k = 1
k = 4 - 2 - 1 = 1
- x^2/2 + 2x - 1 vale 1 per x = 2
fX(x) =
0 per x <= 0
x 0 < x <= 1
-x + 2 1 < x <= 2
0 per x >= 2
ed ha pertanto una distribuzione triangolare
https://www.desmos.com/calculator/jrnfi193o2
Le probabilità indicate equivalgono pertanto alle aree di opportuni trapezi.
I calcoli sono semplici e li lascio a te.
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Livello 6
@eidosm mi potresti spiegare perché deve essere Fx(2) = 1?
Potresti spiegarmi perché deve essere FX(2) = 1 ? Non riesco a capire questo passaggio
Perché la distribuzione é continua e non può avere salti. Per questo tra l'altro Pr [B] = 0
Anche Pr [C] = 0 perché l'evento ricade in una regione in cui fX(x) = 0
Invece Pr [A] = 1 - Pr [ 0 < X < 0.5 ] = 1 - [x^2/2]_[0,0.5] = 1 - 1/2*1/4 = 7/8
Ciao. Vedi figura:
Se vedi attentamente, la funzione di ripartizione assegnata esprime, da un punto di vista geometrico il valore dell'area triangolare che è la funzione densità di probabilità e che, tale area deve valere 1.
Quindi:
per X=2 devi prendere la componente relativa, quella con K e devi porre tale valore =1:
- 2^2/2 + 2·2 - k = 1------> k = 1
----------------------------------------------------
Per l'altra domanda devi ragionare sulla figura che ti ho dato. Prova...
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Genius II
