Esercizio particolare sul calcolo di un limite

Question

Salve a tutti, ho il seguente esercizio

dove con quel simbolo indico la parte intera di e^k/n.

Sfruttando la definizione di parte intera, ovvero il più grande intero minore o uguale al numero in questione, ho trovato che la successione è compresa tra 1 e 2, però poi non so come arrivare al calcolo del limite. Ho provato anche a dare alcuni valori ad n, per esempio per n=2 la successione vale 2, per altri valori di n invece abbiamo che la successione assume numeri strettamente compresi tra 1 e 2, non mi sembra neanche che sia crescente o decrescente, mi verrebbe da dire che questo limite non esiste. So che è un esercizio abbastanza laborioso, però vi sarei grato se qualcuno di voi potesse aiutarmi a risolverlo in modo rigoroso. Grazie a chi vorrà aiutarmi

Autore

Risposta

apprentus

(@apprentus)

418 punti

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108 0 210

21/06/2022 20:02

exProf · Accepted Answer

L'n-mo termine della successione* a(n) = (1/n)*(Σ [k = 1, n] floor(e^(k/n)))è il valor medio degli n addendi floor(e^(k/n)).Copio qui di seguito cosa ho fatto nell'IDLE di Python==============================Python 2.7.14 (v2.7.14:84471935ed, Sep 16 2017, 20:19:30) [MSC v.1500 32 bit (Intel)] on win32Type "copyright", "credits" or "license()" for more information.>>> def apprentus(u):import mathresult = []for n in range(1, u + 1):addendi = []den = float(n)for k in range(1, n + 1): addendi.append(int(math.floor(math.exp(k/den))))media = sum(addendi)/denresult.append((n, addendi, media))return result >>> apprentus(12)[(1, [2], 2.0), (2, [1, 2], 1.5), (3, [1, 1, 2], 1.3333333333333333), (4, [1, 1, 2, 2], 1.5), (5, [1, 1, 1, 2, 2], 1.4), (6, [1, 1, 1, 1, 2, 2], 1.3333333333333333), (7, [1, 1, 1, 1, 2, 2, 2], 1.4285714285714286), (8, [1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2], 1.375), (9, [1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2], 1.3333333333333333), (10, [1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2], 1.4), (11, [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2], 1.3636363636363635), (12, [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2], 1.3333333333333333)]>>> ------------------------------(n, {floor(e^(k/n))}, a(n))(1, [2], 2.0),(2, [1, 2], 1.5),(3, [1, 1, 2], 1.3333333333333333),(4, [1, 1, 2, 2], 1.5),(5, [1, 1, 1, 2, 2], 1.4),(6, [1, 1, 1, 1, 2, 2], 1.3333333333333333),(7, [1, 1, 1, 1, 2, 2, 2], 1.4285714285714286),(8, [1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2], 1.375),(9, [1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2], 1.3333333333333333),(10, [1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2], 1.4),(11, [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2], 1.3636363636363635),(12, [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2], 1.3333333333333333)==============================Visualizzare il segmento iniziale di {a(n)}, in particolare i paragrafi "Plot" e "Cumulative sums" al linkhttps://www.wolframalpha.com/input?i=232433275431071184375151143...mi suggerisce un paio d'idee.---------------1) interpolare la cumulata* {2, 7/2, 29/6, 19/3, 116/15, 136/15, 1102/105, 9971/840, 3697/280, 4089/280, 49179/3080, 159857/9240}con la retta* s(n) = 1.38844*n + 0.717413di pendenza che differisce da 4/3 solo del* (34711/25000 - 4/3)/(4/3) = 4133/100000 ~= 4%---------------2) che converrebbe, osservando gli a(n) in terne con indici multipli di (1, 2, 3),2, 3/2, 4/3,3/2, 7/5, 4/3,10/7, 11/8, 4/3,7/5, 15/11, 4/3, ...estendere il segmento iniziale di un bel po' (fino a n = 51?) e poi cercare la legge di formazione per la prima e la seconda colonna della tavola delle terne lasciando fisso il 4/3 nella terza colonna (che dovrebbe risultare il limite della successione).Per quel poco che può valere, vedi ai linkhttp://www.wolframalpha.com/input?i=23210775...http://www.wolframalpha.com/input?i=32751181511...

EidosM · Answer

L'esercizio é semplicissimo, ma poiché non é standard occorre un pò di ragionamento.

Se scrivi 1/n * ([ e^(1/n) ] + [ e^(2/n) ] + ... + [ e^(h/n) ] + ... [ e^(n/n) ] )

sarà facile rendersi conto che il generico addendo sarà sempre 1 fino a h e

poi sempre 2, essendo e^(h/n) = 2 => h/n = ln 2 => h = n ln 2 .

Dovrai dunque calcolare il lim_n->oo [ 1* n ln 2 + 2* (n - n ln 2) ]/n =

= lim_n->oo n/n [ ln 2 + 2 - 2 ln 2 ] = 2 - ln 2 ~ 1.307.

Quando n->oo gli effetti di bordo legati al fatto che n ln 2 non é intero tendono a scomparire.

Buona serata.

EidosM

(@eidosm)

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21/06/2022 20:47

EidosM · Answer

octave:1> n = 10;
octave:2> s = 0;
octave:3> for k=1:n,
> > s = s + floor(e^(k/n));
> > endfor
octave:4> m = s/n
m = 1.4000
octave:5> n = 100;
octave:6> s = 0;
octave:7> for k=1:n,
> > s = s + floor(e^(k/n));
> > endfor
octave:8> m = s/n
m = 1.3100
octave:9> n = 1000;
octave:10> s = 0;
octave:11> for k=1:n,
> > s = s + floor(e^(k/n));
> > endfor
octave:12> m = s/n
m = 1.3070
octave:13> n = 10000;
octave:14> s = 0;
octave:15> for k=1:n,
> > s = s + floor(e^(k/n));
> > endfor
octave:16> m = s/n
m = 1.3069

Ecco uno sviluppo algoritmico per valori crescenti di n

Con 4 cifre decimali esatte 2 - ln 2 = 1.3069

EidosM

(@eidosm)

49925 punti

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22/06/2022 17:23

[Risolto] Esercizio particolare sul calcolo di un limite

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