[Risolto] Esercizio sul.circuito rlc

Z = Z*e^(i*phi) =R + i*X = R+ i(XL -Xc)= R + i*2pi*f*L + 1/(i*2*pi*f*C) = V/I = Vm / Im   {V val.efficace  e Vm valore max}

con phi > 0 {e <90° per Z passivo} se XL=wL > Xc =1/(wC)  e  phi < 0 {e > -90° per Z passivo} se XL < Xc

phi = arctan(X/R)  = arctan((wL-1/(wC))/R) 

quindi se è lo stesso Im = |Im|   anche   Z = |Z| è lo stesso ...

Z(f1) - Z(f2) = sqrt(R² + (2pi*f1*L - 1/(2*pi*f1*C))²) - sqrt(R² + (2pi*f2*L - 1/(2*pi*f2*C))²) = 0

sqrt(R² + (2pi*f_1*L - 1/(2*pi*f_1*C))²) - sqrt(R² + (2pi*f_2*L -1/(2*pi*f_2*C))²) = 0

f_2 = 1/(4 π^2 C f_1 L) ---> C = 1/(4pi²*f1*f2*L)= 0.0000242349... F = ~ 24.23 microF

................

Im = V/Z = V/ sqrt(R² + (2pi*f1*L - 1/(2*pi*f1*C))²) =0.388797... A = V /sqrt(R² + (2pi*f2*L - 1/(2*pi*f2*C))²) = 0.388797... A

Z(f1) = Z(f1)exp(i*phi1)        Z(f2) = Z(f2)exp(i*phi2)

.............................

phi1 = arctan(X1/R)  = arctan((2pi*f1*L-1/(2pi*f1*C))/R) = -13.59°

phi2 = arctan(X2/R)  = arctan((2pi*f2*L-1/(2pi*f2*C))/R) = + 13.59°

.................... 

Imponi l'uguaglianza delle impedenze ( in modulo ) 

R^2 + (w1 L - 1/(w1C))^2 = R^2 + (w2 L - 1/(w2 C))^2

e risolvendo  C = 1/[ (2 TT)^2 f1 f2 L ] 

Per l'ultima richiesta R + j (wL - 1/(wC))  deve essere reale 

wL - 1/wC = 0

w^2 LC = 1 

C = 1/((2TT)^2 f^2 L )

In un circuito 𝑅⁢𝐿⁢𝐶 in serie è presente una resistenza 𝑅, un generatore sinusoidale di ampiezza 𝑉𝑚 e frequenza 𝑓 variabile, un condensatore di capacità incognita e un induttore 𝐿. Ponendo la frequenza pari ai due valori 𝑓1 e 𝑓2 si misura la stessa ampiezza di corrente 𝐼𝑚.

disponendo dei seguenti dati :

𝑉𝑚 = 100⁢ V

𝑓1 = 60⁢ Hz

𝑓2 = 134⁢ Hz

𝑅 = 250 ⁢Ω

𝐿 = 130 ⁢mH

a) calcolare il valore di C. 

Prima di perderci in calcoli tanto complessi quanto inutili,  è bene notare che la circolazione della stessa corrente è garantita dalla sola uguaglianza delle due X alle due frequenze imposte di 60 e 134 Hz, pertanto : 

6,2832*60*0,13 -1/(6,2832*60*C) = -6,2832*134*0,13 + 1/(6,2832*134*C)

49,01-1/(377*C) = -109,45+1/(842*C)

C*158,46 = 1/842+1/377

158,46C = 0,00384

C = 10^6*0,00384/158,46 = 24,23 μF

b) Calcolare il valore di 𝐼𝑚 e lo sfasamento per i due valori di frequenza dati

X = 49,01-10^6/(377*24,23) = -60,46

Z = √R^2+X^2 = √250^2+60,46^2 = 257,2 ohm 

Im = V/Z = 100/257,2 = 0,3888 A 

angolo Θ = ± arccos R/Z = ± arccos (250/257,2) = 13,59°

c) Calcolare il valore C' che deve assumere un condensatore da inserire nel circuito affinché lo sfasamento sia nullo.

6,2832*60*0,13 = 10^6/(6,2832*60*C')

C' = 10^6/(39,5*60^2*0,13) = 54,09 μF