[Risolto] Esercizio parabola

@maria_luisa_ragni

Ciao e benvenuta. Probabilmente sei arrivata al punto di figura:

y = a·x^2 + b·x + c   parabola da trovare

y = 2·x - 9 retta tangente in x = 4

Quindi punto di tangenza B (figura)

y = 2·4 - 9----> y = -1

[4, -1]

Passa per i due punti:

{-1 = a·4^2 + b·4 + c

{-9 = a·2^2 + b·2 + c

Risolvo:

{16·a + 4·b + c = -1

{4·a + 2·b + c = -9

mantengo il parametro a ed ottengo:  [b = 2·(2 - 3·a) ∧ c = 8·a - 17]

y = a·x^2 + (2·(2 - 3·a))·x + (8·a - 17)

Applico le formule di sdoppiamento:

[4, -1]----> (y - 1)/2 = a·4·x + 2·(2 - 3·a)·(x + 4)/2 + 8·a - 17

Risolvo rispetto ad y:

y = 2·x·(a + 2) - 8·a - 17

Deve quindi essere per confronto con y = 2·x - 9

{a + 2 = 1

{- 8·a - 17 = -9

[a = -1]----> y = (-1)·x^2 + (2·(2 - 3·(-1)))·x + (8·(-1) - 17)

quindi:

y = - x^2 + 10·x - 25---> y = - (x - 5)^2

che indica una parabola tangente asse x in V(5,0)

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Coordinate di P: [x, - x^2 + 10·x - 25]

retta tangente: 2·x - y - 9 = 0

Deve essere:

ABS(- x^2 + 10·x - 25) = √5·d

con d la distanza dalla retta ossia PH

d = ABS(2·x - (- x^2 + 10·x - 25) - 9)/√(2^2 + (-1)^2)

d = ABS(x^2 - 8·x + 16)/√5

Quindi:

ABS(- x^2 + 10·x - 25) = ABS(x^2 - 8·x + 16)

Risolvo ed ottengo: x = 9/2

[9/2, - (9/2)^2 + 10·(9/2) - 25]

quindi: [9/2, - 1/4] punto P

Poiché yT = 2xT - 9 = 2*4 - 9 = -1

- 9 = 4a + 2b + c

-1 = 16a + 4b + c

sono le condizioni di appartenenza di T e A

mt = 2 a xT + b =>   2 = 2*a* 4 + b =>  8a + b = 2

 

sottraendo 6a + b = 4

sottraendo ancora   2a = -2

a = -1 

y = -x^2 + 10x - 25.

 

Seconda parte più tardi.

Il vertice é xV = -b/(2a) = -10/(-2) = 5 e yV = -25 + 50 - 25 = 0

V = (5,0)

Per cui se x é l'ordinata di P allora 2 <= x <= 5

e P = (x, -x^2 + 10x - 25)

 

PK = distanza di P da 2x - y - 9 = 0

|2x + x^2 - 10x +25|/rad(4 + 1) = |x^2 - 8x + 25|/rad 5

PH = |yP| = - y(x) = x^2 - 10x + 25

PK = rad(5)*PH

diventa allora 

|x^2 - 8x + 25| = rad(5)*rad(5) (x^2 - 10x + 25)

con 2 <=x <= 5.

Osservando che x^2 - 8x + 25 = x^2 - 8x + 16 + 9 =

= (x - 4)^2 + 3^2 > 0 sempre, si può eliminare il valore assoluto

e scrivere di conseguenza

x^2 - 8x + 25 = 5x^2 - 50x + 125

4x^2 - 42 x + 100 = 0

2x^2 - 21 x + 50 = 0

x = (21 +- rad(441 - 400))/4 = (21 +- rad(41))/4

e solo la minore, x = (21 - rad(41))/4, ricade nell'intervallo utile

 

yP = -xP^2 + 10xP - 25.

 

 

La parabola non degenere Γ con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha equazione di forma
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
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Il punto di tangenza T(4, - 1), di ascissa 4 della retta
* t ≡ y = 2*x - 9
dev'essere su Γ come A(2, - 9), quindi il sistema dei vincoli d'appartenenza
* (- 1 = h + a*(4 - w)^2) & (- 9 = h + a*(2 - w)^2) ≡
≡ (w = 3 - 2/a) & (h = - (a + 4/a + 5))
rende l'equazione monoparametrica nella sola apertura
* Γ ≡ y = a*(x - (3 - 2/a))^2 - (a + 4/a + 5)
che si determina dalla condizione di tangenza con t.
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Il sistema
* t & Γ ≡ (y = 2*x - 9) & (y = a*(x - (3 - 2/a))^2 - (a + 4/a + 5))
ha risolvente
* a*(x - (3 - 2/a))^2 - (a + 4/a + 5) - (2*x - 9) = 0 ≡
≡ x^2 + 2*(1/a - 3)*x + 8*(1 - 1/a) = 0
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere zero
* Δ(a) = (2*(a + 1)/a)^2 = 0
da cui
* a = - 1
* w = 3 - 2/a = 5
* h = 0
* V(5, 0)
* Γ ≡ y = - (x - 5)^2
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Punto P sull'arco VA ≡ P(k, - (k - 5)^2) & (2 <= k <= 5), da cui K(k, 0)
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Poiché la retta
* t ≡ y = 2*x - 9
ha pendenza due il fascio delle sue perpendicolari è
* p(q) ≡ y = q - x/2
fra esse quella che passa per P è
* p ≡ y = - k^2 + 21*k/2 - 25 - x/2
in quanto
* (- (k - 5)^2 = q - k/2) & (2 <= k <= 5) ≡ q = - k^2 + 21*k/2 - 25
e interseca t in H
* p & t ≡ (y = - k^2 + 21*k/2 - 25 - x/2) & (y = 2*x - 9) ≡
≡ H(- (2*k^2 - 21*k + 32)/5, - (4*k^2 - 42*k + 109)/5)
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Le distanze implicate nell'equivoca relazione imposta sono
* |PH| = (k - 4)^2/√5
* |PK| = (k - 5)^2
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Secondo le intenzioni dell'incauto che affidò la composizione a un apprendista tipografo nel suo primo giorno di lavoro si può avere una di due equazioni
O
* |PK| = √(5*|PH|) ≡ (k - 5)^2 = √(5*(k - 4)^2/√5) ≡
≡ k = (10 + √(√5) ± √(4*√(√5) + √5))/2
OPPURE
* |PK| = |PH|*√5 ≡ (k - 5)^2 = ((k - 4)^2/√5)*√5 ≡
≡ k = 9/2