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[Risolto] Esercizio parabola  

  

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Delle due parabole con asse parallelo all'asse y passanti per A(0 ;-1) e tangenti alle rette y=3x e y=-2x+15, trova quella il cui vertice V ha ascissa maggiore. Sull'arco AV di tale parabola considera un punto P di ascissa x e, indicata con $A (A P V)$ l'area del triangolo $A P V,$ traccia la funzione $f(x)= A (A P V)$ Individua il punto P per cui si ha f(x)=2.

Trova poi l'equazione della circonferenza con centro nel vertice della parabola e passante per il suo fuoco. Spiega perché la circonferenza è tangente alla direttrice.

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3 Risposte
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PRIMA PARTE
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Ogni parabola Γ con
* asse parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha
* equazione Γ ≡ y = a*(x - w)^2 + h
* pendenza m(x) = 2*a*(x - w)
---------------
Il passaggio per A(0, - 1) impone il vincolo
* equazione - 1 = a*(0 - w)^2 + h ≡ h = - (a*w^2 + 1)
da cui
* Γ ≡ y = a*(x - w)^2 - (a*w^2 + 1) ≡ y = a*x^2 - 2*a*w*x - 1
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Le condizioni di tangenza in punti da specificare si riflettono nell'azzerare il discriminante Δ delle risolventi dei sistemi dei punti comuni a Γ e a ciascuna delle due rette.
---------------
* (y = 3*x) & (y = a*x^2 - 2*a*w*x - 1) → a*x^2 - (2*a*w + 3)*x - 1 = 0
* Δ = 0 ≡ (2*a*w + 3)^2 + 4*a = 0
---------------
* (y = 15 - 2*x) & (y = a*x^2 - 2*a*w*x - 1) → a*x^2 - 2*(a*w - 1)*x - 16 = 0
* Δ = 0 ≡ (a*w - 1)^2 + 16*a = 0
---------------
* ((2*a*w + 3)^2 + 4*a = 0) & ((a*w - 1)^2 + 16*a = 0) ≡
≡ (a = - 25/36) & (w = 84/25) oppure (a = - 1/4) & (w = 4)
Poiché
* 4 > 84/25
la parabola richiesta è determinata dalla terna
* (a, w, h) = (- 1/4, 4, - (a*w^2 + 1)) = (- 1/4, 4, 3)
cioè
* Γ ≡ y = 3 - (x - 4)^2/4
con
* vertice V(4, 3)
* fuoco F(4, 2)
* direttrice d ≡ y = 4
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SECONDA PARTE
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Tre punti formano triangolo se non sono allineati.
L'area S del triangolo che ha i vertici A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3) è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate (v. http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo#Formule_analitiche )
* S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
Se tre punti sono allineati l'area del triangolo che li ha per vertici è zero.
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Con
* A(0, - 1), V(4, 3)
il generico punto dell'arco AV è
* P(x, 3 - (x - 4)^2/4)
con la restrizione
* 0 < x < 4
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Con i vertici
* A(0, - 1), P(x, 3 - (x - 4)^2/4), V(4, 3)
si formano triangoli di area espressa da
* (0 < x < 4) & (f(x) = √(((x - 4)*x)^2)) ≡ (0 < x < 4) & (f(x) = |(x - 4)*x|)
---------------
* (0 < x < 4) & (f(x) = |(x - 4)*x| = 2) ≡ x = 2 ± √2 = 2 ± 1.4)
VERIFICA al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*%28x-4%29%3D0%2Cy%3D%E2%88%9A%28%28%28x-4%29*x%29%5E2%29%2Cy%3D2%5Dx%3D-2to6%2Cy%3D-1to5
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TERZA PARTE
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La circonferenza Γ richiesta è il luogo dei punti P(x, y) che distano dal vertice V(4, 3) la distanza focale f = |FV| = 1/(4*|a|) = 2, cioè
* Γ ≡ (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 2^2 ≡ x^2 + y^2 - 8*x - 6*y + 21 = 0
che risulta tangente alla direttrice grazie a una delle definizioni relative alla parabola (la direttrice è la normale all'asse a distanza focale dal vertice sulla semiretta opposta a quella col fuoco).

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5b519218 1346 416c 9104 0300e5a9c59d
4c91927a 2f1c 4ec7 a285 fe93ac98fd77

Spero vivamente di non aver sbagliato calcoli, ricontrolla, il procedimento da seguire è comunque questo 

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Il procedimento è parecchio lunghetto ad essere sinceri.

Il passaggio per $A$ ti fornisce l'equazione della parabola come $y=ax^2+bx-1$, eliminandoti il parametro $c$.

La condizione di tangenza con la retta $y=3x$ ti porta ad imporre che il $\Delta=0$ che si scrive come:

$b^2-6b+9+4a=0$

La condizione di tangenza con la retta $y=-2x+15$ ti porta ad imporre che il $\Delta=0$ che si scrive come:

$b^2+4b+4+64a=0$

mettendo a sistema le ultime due equazioni ottieni (sottraendro le due equazioni):

$b=6a-1/2$ che quindi ti porta ad un'unica equazione di secondo grado soltanto nel parametro $a$:

$144a^2+128a+23=0$

che restituisce 

$a_1=-1/4$

$a_2=-23/36$

a cui corrispondono 

$b_1=2$

$b_2=1/3$

Calcolando l'ascissa del vertice si ricava che 

$x_{V1}=-\frac{b_1}{2a_1}=4$

$x_{V2}=-\frac{b_2}{2a_2}=78/23=3.39$

Quindi prendiamo $a_1$ e $b_1$ e la parabola ha equazione:

$y=-\frac{1}{4}x^2+2x-1$

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