In una macchina di Atwood come quella mostrata in figura, la massa $m_{2}$, dopo aver toccato terra, rimane ferma, ma la massa $m_{1}$ continua a muoversi verso l'alto. Di quanto prosegue la sua salita la massa $m_{1}$ dopo che $m_{2}$ ha toccato terra? Fornisci la risposta nel caso in cui $h=1,2 m , m_{1}=3,7 kg$ e $m_{2}=4,1 kg$
$[6 cm ]$
Qualcuno mi potrebbe aiutare con questo? So che si deve usare l'energia ma non capisco come impostare il problema
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Livello 0
Ciao e benvenuta.
Nel caso generale di carrucola con massa NON trascurabile, il sistema è retto dalla equazione della accelerazione:
a=g*(M2-M1)/(M1+M2+1/2*Mc)
Nel nostro caso la massa della carrucola dovrebbe essere trascurabile ( Mc=0) sulla base del fatto che non è stata menzionata. Quindi il sistema è retto dalla equazione:
a=g*(M2-M1)/(M1+M2)-------> a=9.81·(4.1 - 3.7)/(3.7 + 4.1) = 0.503 m/s^2
Quindi, anche se non è espresso chiaramente nel testo, si immagina che la massa maggiore, cioè M2 parta dall'altezza h.
Le equazioni del moto che reggono il sistema nella fase di discesa di M2, sono le stesse di quelle della massa M1 che parte a questo punto dal suolo.
{s = 1/2·a·t^2
{v = a·t
Risolvo t dalla prima: t=√(2s/a)=√(2·1.2/0.503) = 2.184 s (avendo posto nella formula s=h=1.2 m)
Quindi la massa M1 arriva all'altezza h con la stessa velocità e nello stesso tempo con cui M2 arriva a terra:
v=0.503·2.184 = 1.098 m/s
In tale posizione finale, le tensioni T della fune smettono, per cui si ritrova la sola massa M1, con una certa velocità che è quella trovata. Solo su questa massa è possibile applicare ora il Principio di conservazione dell'energia meccanica:
Ec=1/2·m·v^2 = m·g·x =Ep -------> x = v^2/(2·g)= 1.098^2/(2·9.81) = 0.0614 m =6.14 cm
Cioè l'energia cinetica posseduta dalla sola massa M1 si converte in energia potenziale, avendo fatto riferimento stavolta ad una quota 0 all'altezza di h, quindi x è l'ulteriore spazio in salita percorso dalla massa M1.
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Genius II
Il Δh dipende dalla velocità delle masse quando M2 tocca terra ; la velocità, a sua volta, dipende dipende dall'altezza che aveva m2 prima di cominciare la discesa .
Equazione del moto ,immaginando che m2 parta da h = 1,2) :
accelerazione a = g(m2-m1)/(m1+m2) = 9,806*(4,1-3,7)/7,8 = 0,503 m/sec^2
quadrato della velocità V di impatto di m2 : V^2 = 2*a*h = 1,006*1,2 = 1,2072 m^2/sec^2
siccome le masse sono interconnesse con una fune , m1 ha la stessa velocità di m2 , pertanto , applicando la conservazione dell'energia, si ha :
m1*V^2/2 = m1*g*Δh
la massa m1 si semplifica
Δh = 1,2072/19,612 = 0,0616 m (6,2 cm)
P.S. : se la formula "quadrato della velocità V di impatto di m2 : V^2 = 2*a*h" ti sembra un tantino criptica (misteriosa) si può procedere nel seguente modo :
h = a/2*t^2
t = √2h/a
V^2 = a^2*t^2 = a^2*2h/a = 2*a*h (as simple as having a glass of water 😉)
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Genius II
La massa m2 pesa m2 * g, cade verso il basso e muove verso l'alto la massa m1 che pesa m1 * g;
F risultante = m2 * g - m1 * g;
accelerazione delle due masse:
a = F ris / (m1 + m2) = (m2 * g - m1 * g) / (m1 + m2);
a = (4,1 - 3,7) * 9,8 / (4,1 + 3,7) = 0,4 * 9,8 / 7,8 = 0,5 m/s^2;
tempo del moto, m2 scende, m1 sale con la stessa accelerazione a:
h = 1/2 a t^2;
t = radice(2 h / a) = radice(2 * 1,2 / 0,5) = 2,2 s;
v = a * t = 0,5 * 2,2 = 1,1 m/s;
m2 arriva a terra con velocità 1,1 m/s;
la massa m1 ha la stessa velocità, ha energia cinetica e sale di un tratto h1 fino a quando v = 0 m/s; l'energia cinetica diventa energia potenziale U = m1 g h1;
m1 g h1 = 1/2 m1 vo^2;
h1 = vo^2 / (2 g) = 1,1^2 / (2 * 9,8) = 0,06 m = 6 cm;
(altezza di cui sale ancora m1 quando m2 si è fermata).
Ciao, @violett.
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Genius I
La macchina di Atwood serve, come la rotaia inclinata di Galilei, a studiare il moto rettilineo uniformemente accelerato (MRUA) per effetto della forza di gravità, ma con espedienti geometrici tali da applicare solo una piccola frazione "a" dell'accelerazione "g" e con espedienti costruttivi tali da poter considerare "ideale" la situazione sperimentale instaurata.
Lo scopo principale del ridurre l'accelerazione è di agevolare le misure rendendole più precise.
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Nella macchina di Atwood ideale si ha
* a = ((m2 - m1)/(m2 + m1))*g
che per le masse dell'esercizio
* m1 = 3.7 = 37/10 kg
* m2 = 4.1 = 41/10 kg
vale
* a = ((41/10 - 37/10)/(41/10 + 37/10))*g = (2/39)*g
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Orientando verso l'alto l'asse delle quote con origine al suolo, m1 ha il MRUA
* q(t) = Q + t*(V + (a/2)*t)
* v(t) = V + a*t
dove
* t = tempo
* q(t) = quota all'istante t
* v(t) = velocità all'istante t
* Q, V = quota e velocità all'istante zero
se m1 si muove da fermo con 0 <= Q < h, allora
* q(t) = Q + (a/2)*t^2
* v(t) = a*t
e attinge la quota
* h = 1.2 = 6/5 m
all'istante T > 0
* q(T) = Q + (a/2)*T^2 = 6/5 ≡ T = √(2*(6/5 - Q)/a)
con velocità
* v(T) = a*T = √(2*a*(6/5 - Q))
ed energia cinetica
* E = (m1/2)*v^2 = (37/195)*(6/5 - Q)*g
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"Di quanto prosegue la sua salita la massa m1 dopo che m2 ha toccato terra?"
Di x metri, tale che l'energia potenziale
* P = m1*g*x
eguagli la E, cioè
* (37/195)*(6/5 - Q)*g = m1*g*x = (37/10)*g*x ≡
≡ x = (12 - 10*Q)/195
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Se m1 parte da terra (Q = 0) si ha
* x = 4/65 = 0.0(615384) m ~= 6 cm
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Genius I
