Dati la parabola $\gamma$ di equazione $y=\frac{1}{2} x^{2}-2$ e il punto $A(0 ; 2)$, considera su $\gamma$ un punto $P$ ed esprimi, al variare dell'ascissa di $P$, la funzione $y=\overline{O P}^{2}-\overline{P A}^{2}$, essendo $O$ l'origine del sistema di riferimento. Rappresenta graficamente la funzione ottenuta e determina per quale valore di $x$ assume il valore minimo.
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Livello 0
Il punto P ha coordinate (x; 1/2 x^2 - 2)
mentre O = (0;0) e A = (0;2)
Pertanto y = OP^2 - PA^2 =
= (x - 0)^2 + (1/2x^2 - 2)^2 - (x - 0)^2 - (1/2 x^2 - 4)^2 =
= x^2 + 1/4 x^4 - 2x^2 + 4 +
- x^2 - 1/4 x^4 + 4x^2 - 16 =
= 2x^2 - 12 = 2(x^2 - 6) =
= 2 (x)^2 - 12
il minimo di y si ottiene quando x = 0 e il valore é -12
Infatti y é a sua volta dotata di grafico a parabola ed il minimo é nel vertice.
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Livello 6
@eidosm ....nice job
y = 1/2·x^2 - 2
PO^2=x^2 + (1/2·x^2 - 2)^2
PA^2=x^2 + (1/2·x^2 - 2 - 2)^2
---------------------------------------
y=x^2 + (1/2·x^2 - 2)^2 - (x^2 + (1/2·x^2 - 2 - 2)^2) = 2·(x^2 - 6)
y = 2·x^2 - 12
parabola ad asse verticale di equazione x=0 (asse y)
Quindi
f(0) = 2·0^2 - 12------> ymin=-12
V(0,-12) è il vertice della parabola ottenuta
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Genius II
Dati
* Γ ≡ y = x^2/2 - 2
* A(0, 2)
* P(x, x^2/2 - 2)
la distanza |OP| è il modulo del raggio vettore di P, quindi
* |OP|^2 = x^2 + (x^2/2 - 2)^2 = (x^4 - 4*x^2 + 16)/4
con
* |PA|^2 = x^2 + (x^2/2 - 2 - 2)^2 = (x^4 - 12*x^2 + 64)/4
si ha la richiesta funzione
* y = |OP|^2 - |PA|^2 = 2*x^2 - 12
rappresentata graficamente da una parabola con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* vertice V(0, - 12)
* apertura a = 2 > 0 (concavità rivolta verso y > 0, quindi V è minimo assoluto)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D-12%2Cy%3D2*x%5E2-12%5D
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Genius I
