[Risolto] dimostrazione traiettoria è un ellisse

L'estremo A di un segmento AB di lunghezza h si muove sull'asse delle ordinate; l'estremo B si muove invece sull'asse delle ascisse. Dimostra che la traiettoria descritta da un generico punto  M di AB è un ellisse. 

(non è la stessa cosa che ho scritto io e non certo per colpa mia!)

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Nella generica posizione del segmento AB (per fissare le idee supponiamo che sia nel 1° quadrante), possiamo dire che:

{x = k·h·SIN(α)

{y = (h - k·h)·COS(α)

Quindi con 0 < k < 1 si determinano le coordinate del punto M (mannaggia! si poteva chiamare in altro modo!) che dista da A della misura K*h essendo h la misura del segmento AB.

Inoltre le funzioni trigonometriche sono tali per cui:

-1 < SIN(α) < 1 e -1 < COS(α) < 1

Per la precisione ho inteso con α l'angolo che il segmento AB forma con l'asse delle y.

A questo punto fisso h=5 come lunghezza del segmento e per k tanti valori compatibili con il testo del problema.

Per determinare quindi il luogo geometrico che forma il punto M quindi occorre fissare oltre a h=5 altri valori di k e vedere quello che succede.

Per h = 5 e k = 1/5 ottengo:

x = 1/5·5·SIN(α)--------> x = SIN(α)

y = (5 - 1/5·5)·COS(α)------->y = 4·COS(α)

Elevo al quadrato le due coordinate di M:

{x^2 = SIN(α)^2

{y^2 = 16·COS(α)^2------->y^2/16=COS(α)^2

Sommo membro a membro le due equazioni ottenute ed ottengo:x^2 + y^2/16 = 1

Per h = 5 e k = 1/4

{x = 1/4·5·SIN(α)

{y = (5 - 1/4·5)·COS(α)

si ha:

{x = 5·SIN(α)/4

{y = 15·COS(α)/4

quindi:                       

{x^2 = 25·SIN(α)^2/16      ------> 16/25·x^2 = SIN(α)^2

{y^2 = 225·COS(α)^2/16--------> 16/225·y^2 = COS(α)^2

Sommo membro a membro: 16·x^2/25 + 16·y^2/225 = 1

I luoghi geometrici che ottengo in tal modo sono tutti delle ellissi.

   ya = y/(1 - k/h) = h*y/(h-k)        (1)

dalla figura con Pitagora:

x² + (ya - y)² = k²   

sostituendo ya con l'espressione trovata in (1):

     x² + ( h*y/(h-k) - y)² = k²     --->      x² + y²( h/(h-k) - 1)² = k²

 x²/k² + y²( h/(h-k) - 1)²/k² = 1   

da cui 

   x² / k² + y²(h/(h-k) - 1)²/k² = 1

l'ultima è un'ellisse con centro nell'origine e semiassi:

a = k        e      b = k/(h/(h-k) - 1)
con k < h

 come volevasi dimostrare!
es. k = 2 e h = 5

x² / 2² + y²(5/(5-2) - 1)²/2² = 1

https://www.wolframalpha.com/input/?i=++x%C2%B2+%2F+2%C2%B2+%2B+y%C2%B2%285%2F%285%2B2%29+-+1%29%C2%B2%2F2%C2%B2++%3D+1+

con

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B2+%2F+4%C2%B2+%2B+y%C2%B2%285%2F%285%2B4%29+-+1%29%C2%B2%2F4%C2%B2++%3D+1+

N.B. il link al sito wolfram , a causa di un bug nel software di SOSmatematica non funziona BENE! ... dimentica i "+" nelle formule .... l'ho già fatto notare , ma non si è ancora provveduto {evidentemente non è semplice eliminarlo}!

...ma che segmento è mai ?? Meglio farlo con una corda !!  Scherzo : è come variare mutuamente i cateti ad ipotenusa costante tal che c^2+C^2 = i^2 (costante).

Equazione dell'ellisse : x^2/a^2+y2/b^2 = 1 (costante) ....direi che ci siamo 🤔